1、安徽省马鞍山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（ ） A.7，5，8 B.9，5，6 C.6，5，9 D.8，5，72.设复数 z1=2-i ， z2=-3+5i ，则 z1-z2 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图，已知两座灯塔 A 和 B
2、与海洋观察站 C 的距离都等于30km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（ ） A.30km B.302 km C.303 km D.155 km4.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kwh，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ） A.一定为5.5kwh B.高于5.5kwh C.低于5.5kwh D.约为5.5kwh5.已知复数 z 满足 (z+1)i=1+i ，则 |z|= （ ） A.1 B.2 C.5
3、D.66.设 a ， b 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若 a/ ， b/ ，则 a/bB.若 ab ， ， a ，则 bC.若 / ， a ， b ，则 a/bD.若 a ， b ， ，则 ab7.下列命题是假命题的是（ ） A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同B.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5D.对一组数据 xi(i=1,2,3,n) ，如果将它们变为 xi+C(i=1,2,3,n) ，其中 C0 ，则平均数和标准差均
4、发生改变8.设 e1,e2 为平面内一个基底，已知向量 AB=e1-ke2 ， CB=2e1-e2 ， CD=3e1-3e2 ，若 A ， B ， D 三点共线，则 k 的值是（ ） A.2 B.3 C.-2 D.-39.已知正三棱锥 P-ABC 的底面边长为6，点 ABC 到底面 ABC 的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ） A.93 B.183 C.273 D.36310.从集合3，4，6中随机地取一个数a ， 从集合0，1，2，3中随机地取一个数b ， 则向量 m=(a,b) 与向量 n=(1,-2) 垂直的概率为（ ） A.112 B.16 C.14 D.1311.在四边形ABCD中,
5、 AC=(1,2),BD=(-4,2) ,则四边形ABCD的面积为（ ） A.5 B.25 C.5 D.1012.如图，空间几何体 ABCDEFGH ，是由两个棱长为 a 的正三棱柱组成，则直线 BG 和 HE 所成的角的余弦值为（ ） A.-34 B.-38 C.34 D.38 二、填空题：每小题4分，共20分请把答案填在答题卡的相应位置13.若向量 a=(1,2x) ， b=(-2,2) ，且 a/b ，则 x 的值是_ 14.已知复数 z 满足 |z|=2 ，则 |z-3-4i| 的最小值为_ 15.已知三棱锥 A-BCD ， AB 底面 BCD ， CBD=90 ， AB=5 ， BC
6、=3 ， BD=4 ，则三 棱锥 A-BCD 的外接球表面积为_ 16.如图，已知为 O 平面直角坐标系的原点， OAB=ABC=120 ， |OA|=|BC|=2|AB|=2 则向量 BC 在向量 OA 上的投影向量为_ 17.在 ABC 中，已知 AB=2 ， AC=4 ， BAC=60 ， BM=13BC ， AN=12AC ， AM 与 BN 交于点 ABC ，则 MPN 的余弦值是_ 三、解答题：本大题共5题，共44分解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内18. 2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌为了更好的提高景区服务质量，景区管理部
7、门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：组别青少年组中年组老年组调查人数102010好评率0.70.60.9假设所有被调查游客的评价相互独立（1）求此次调查的好评率（2）若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率. 19.已知 |a|=4 ， |b|=3 ， ab=6 . （1）求 a 与 b 的夹角 ； （2）求 |a+2b| 20.已知四棱锥 P-ABCD ，底面 ABCD 是菱形， BAD=60 ， PD 底面 ABCD ，且 PD=CD=2 ，点 M,N 是棱 AB 和 PC 的中点 （1）求证： MN/ 平面 PAD ； （2）求三棱锥 N-BC
8、D 的体积 21.在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . （1）证明： acosB+bcosA=c ； （2）若 a=7 ， b=5 ， 2c-bcosB=acosA. 求 ABC 的周长. 22.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E ， F ， G ， H 是所在棱的中点 （1）证明： A1E 平面 ABGH ； （2）求直线 A1F 与平面 ABGH 所成角的正弦值 答案解析部分安徽省马鞍山市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某学校
9、有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为（ ） A.7，5，8B.9，5，6C.6，5，9D.8，5，7【答案】 B 【考点】分层抽样方法 【解析】【解答】解：由题意得抽样比为20100=15 ， 则从低到高各年龄段抽取的人数依次为1545=9，1525=5，20-9-5=6人 故答案为：B 【分析】根据分层抽样求解即可.2.设复数 z1=2-i ， z2=-3+5i ，则 z1-z2 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【
10、答案】 D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：z1-z2=2-i-(-3+5i)=5-6i，表示的点为（5，-6） 故答案为：D 【分析】根据复数的运算，结合复数的几何意义求解即可.3.如图，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于30km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为（ ） A.30kmB.302 kmC.303 kmD.155 km【答案】 C 【考点】余弦定理的应用 【解析】【解答】解：由题意得ACB=180-20-40=120， 则由余弦定理得
11、AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=302+302-23030cos120=2700 则AB=303km 故答案为：C 【分析】根据余弦定理求解即可.4.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kwh，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ） A.一定为5.5kwhB.高于5.5kwhC.低于5.5kwhD.约为5.5kwh【答案】 D 【考点】简单随机抽样 【解析】【解答】解：由简单随机抽样的估计功能知，5.5为样本的平均数，我们只能用它来估计总体的平均数,得到的数据不是准确值，
12、总体的平均数应该为5.5左右. 故答案为：D. 【分析】根据简单随机抽样求解即可.5.已知复数 z 满足 (z+1)i=1+i ，则 |z|= （ ） A.1B.2C.5D.6【答案】 A 【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【解答】解：由题意得z=1+ii-1=-i ， 则|z|=1 故答案为：A 【分析】根据复数的运算，结合复数的模求解即可.6.设 a ， b 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若 a/ ， b/ ，则 a/bB.若 ab ， ， a ，则 bC.若 / ， a ， b ，则 a/bD.若 a ， b ， ，则 ab【
13、答案】 D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：对于A， 若a/ ， b/ ， 则a/b 或a,b相交或a,b异面，故A错误； 对于B，根据平面与平面垂直的性质定理得， 若ab ， ， a ， 则b 或b或b,相交，故B错误； 对于C， 若/ ， a ， b ， 则a/b 或a,b异面，故C错误； 对于D，根据平面与平面垂直的性质定理，结合两直线间的关系易知D正确 故答案为：D 【分析】根据两直线间的关系可判断ACD，根据平面与平面垂直的性质定理可判断B.7.下列命题是假命题的是（ ） A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同B.若甲组数据
14、的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5D.对一组数据 xi(i=1,2,3,n) ，如果将它们变为 xi+C(i=1,2,3,n) ，其中 C0 ，则平均数和标准差均发生改变【答案】 D 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：对于A，根据众数、中位数的定义易知众数、中位数均为3，故A正确； 对于B，乙的平均数为5+6+9+10+55=7 ， 则方差为s2=1522+12+22+32+22=2255 ， 则这两组数据中较稳定的是乙，故B正确； 对于C，将该组数据从小到
15、大排列：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，由1085%=8.5，则该组数据的85%分位数为5，故C正确； 对于D，根据平均数和标准差的定义易知，对原数据变为Xi+C，平均数发生改变，标准差没变，故D错误. 故答案为：D 【分析】根据众数、中位数的定义可判断A，根据方差的定义可判断B，根据分位数的定义可判断C，根据平均数和标准差的定义可判断D.8.设 e1,e2 为平面内一个基底，已知向量 AB=e1-ke2 ， CB=2e1-e2 ， CD=3e1-3e2 ，若 A ， B ， D 三点共线，则 k 的值是（ ） A.2B.3C.-2D.-3【答案】 A 【考点】向量的共线定理，向量的线
16、性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：由题意得BD=CD-CB=3e1-3e2-2e1-e2=e1-2e2 又 A ， B ， D三点共线， 则AB，BD共线 则AB=BD 即e1-ke2=e1-2e2 则=1k=2 则k=2 故答案为：A 【分析】根据平面向量的线性运算，根据共线向量的充要条件求解即可.9.已知正三棱锥 P-ABC 的底面边长为6，点 ABC 到底面 ABC 的距离为3，则三棱锥的表面积是（ ） A.93B.183C.273D.363【答案】 C 【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由题意作出图形如图，因为三棱锥P-ABC是正三棱
17、锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心， 取BC的中点F，连DF，PF，则DFBC，PFBC. 在PDF中，PD=3，DF=13632=3 ， 所以PF= PD2+ DF2 =23 则这个正三棱锥的侧面积S侧=312623=183 底面积S底=126632=93 则表面积为S侧+S底= 273 故答案为：C 【分析】根据正三棱锥的几何特征，结合正三棱锥的表面积公式求解即可.10.从集合3，4，6中随机地取一个数a ， 从集合0，1，2，3中随机地取一个数b ， 则向量 m=(a,b) 与向量 n=(1,-2) 垂直的概率为（ ） A.112B.16C.14D.13【答案】 B 【考点】数量积判断
18、两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：从集合0,1,2,3 中随机地取一个数a , 从集合3,4,6中随机地取一个数b , 基本事件总数N=4x3=12 . 记事件A：mn , 当向量m=(b.a)与向量n=(1,-2)垂直吋，mn=b-2a=0b=2a , 则事件A包含的基本事件有: (2,4)、(3,6) ,共2个， 因此，P(A)=212=16 故答案为：B 【分析】根据古典概型，结合向量垂直的充要条件求解即可.11.在四边形ABCD中, AC=(1,2),BD=(-4,2) ,则四边形ABCD的面积为（ ） A.5B.25C.5D.10【答案】 C 【考点】数量积判断两个平面向量
19、的垂直关系，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：ACBD=-4+4=0 ACBD 又AC=12+22=5，BD=-42+22=20 S=12ACBD=12520=5 故答案为：C 【分析】根据向量垂直的充要条件，结合直角三角形的面积求解即可.12.如图，空间几何体 ABCDEFGH ，是由两个棱长为 a 的正三棱柱组成，则直线 BG 和 HE 所成的角的余弦值为（ ） A.-34B.-38C.34D.38 【答案】 D 【考点】异面直线及其所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系， 取CF中点M,连接BM，由正三棱锥的性质可知BM平面CFGH，
20、且BM=32a ， 则yB=-32a,xB=HC=a,zB=12a ， Ba,-32a,12a,G(0,0,a), 又DE平面HCD，则xE=a2,yE=3a2,zE=a,E12a,32a,a HE=12a,32a,a，BG=-a,32a,12a cos=HEBGHEBG=-12+34+1222=38 故答案为：D 【分析】根据异面直线所成的角，运用向量法求解即可.二、填空题：每小题4分，共20分请把答案填在答题卡的相应位置13.若向量 a=(1,2x) ， b=(-2,2) ，且 a/b ，则 x 的值是_ 【答案】-12【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】解： a=(1
21、,2x) ， b=(-2,2) ， 且a/b ， 12-2x(-2)=0 解得x=-12 故答案为： -12 【分析】根据向量平行的充要条件求解即可.14.已知复数 z 满足 |z|=2 ，则 |z-3-4i| 的最小值为_ 【答案】 3 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，两点间的距离公式 【解析】【解答】解：设z=a+bi，则a2+b2=4, 则z-3-4i=a-3+(b-4)i 则z-3-4i=a-32+(b-4)2 则z-3-4i的最小值即求点（3,4）到圆a2+b2=4上一点(a,b)的最小距离32+42-2=3 ， 故答案为：3 【分析】根据复数的运算，结合复数的几何意义以及两点
22、间的距离公式求解即可.15.已知三棱锥 A-BCD ， AB 底面 BCD ， CBD=90 ， AB=5 ， BC=3 ， BD=4 ，则三 棱锥 A-BCD 的外接球表面积为_ 【答案】 50 【考点】棱锥的结构特征，球的体积和表面积 【解析】【解答】解： CBD=90 ， BC=3 ， BD=4 RtBCD的外接圆半径为r=12BC2+BD2=52 又 AB底面BCD，AB=5 ， h=AB=5 设外接球半径为R， 则R2=r2+h22=522+522=252 则外接球表面积为S=4R2=50 故答案为：50 【分析】根据直三棱锥的几何特征，结合球的表面积公式求解即可16.如图，已知为
23、O 平面直角坐标系的原点， OAB=ABC=120 ， |OA|=|BC|=2|AB|=2 则向量 BC 在向量 OA 上的投影向量为_ 【答案】-12OA （写 (-1,0) 亦可） 【考点】平面向量的坐标运算，向量的投影 【解析】【解答】解：由题意得A2，0,B52,32,C32,332 则OA=2，0,BC=-1，3 则向量BC在向量OA上的投影为OABCOA=-22=-1则向量BC在向量OA上的投影向量为(-1)(1,0)=(-1,0) 故答案为：(-1,0) 【分析】根据平面向量的坐标运算，结合投影以及投影向量的定义求解即可17.在 ABC 中，已知 AB=2 ， AC=4 ， BA
24、C=60 ， BM=13BC ， AN=12AC ， AM 与 BN 交于点 ABC ，则 MPN 的余弦值是_ 【答案】 0 【考点】向量数乘的运算及其几何意义，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：如图，以点A为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系， 由题意得A0，0,B1，3，C4，0，N2，0 设点M为(x1,y1) 则BC=3，-3，BM=x1-1,y1-3 则由 BM=13BC得x1-1,y1-3=133，-3， 则x1-1=1y1-3=-33 ， 解得x1=2y1=233 则点M为2，233 则AM=2，233，BN=1，-
25、3 则AMBN=21+233-3=0 又由题意知MPN是AM与BN所成角 则MPN=90 则cosMPN=0 故答案为：0 【分析】根据平面向量的坐标运算，结合向量的数乘运算，以及向量的数量积，向量的夹角求解即可三、解答题：本大题共5题，共44分解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内18. 2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如下：组别青少年组中年组老年组调查人数102010好评率0.70.60.9假设所有被调查游客的评价相互独立（1）求此次调查的好评率（2）若
26、从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率. 【答案】 （1）好评率是 100.7+200.6+100.940=0.7（2）在所有评价为好评的青少年组人数为7人，中年组人数为12人，老年组人数为9人，此人是老年组的概率是 97+12+9=928 . 【考点】分层抽样方法，众数、中位数、平均数 【解析】【分析】（1）根据平均数的解法直接求解即可； （2）根据分层抽样直接求解即可.19.已知 |a|=4 ， |b|=3 ， ab=6 . （1）求 a 与 b 的夹角 ； （2）求 |a+2b| 【答案】 （1）cos=ab|a|b|=643=12 ， =60（2） |a+2b
27、|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2 = |a|2+4ab+4|b|2 =16+46+49=76， |a+2b|=219 .【考点】向量的模，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【分析】（1）根据向量的夹角公式求解即可； （2）根据向量的数量积，结合向量的模求解即可.20.已知四棱锥 P-ABCD ，底面 ABCD 是菱形， BAD=60 ， PD 底面 ABCD ，且 PD=CD=2 ，点 M,N 是棱 AB 和 PC 的中点 （1）求证： MN/ 平面 PAD ； （2）求三棱锥 N-BCD 的体积 【答案】 （1）证明：取 PD 的中点 E ，连接 AE 、 NE . E ， N 分
28、别为 PD ， PC 的中点， EN DC ， EN = 12DC .又 M 是 AB 的中点， AM DC ， AM = 12DC . AM EN ， AM = EN . 四边形 AMNE 为平行四边形. MN AE .又 MN 面 PAD ， AE 面 PAD MN 面 PAD .（2）解： PD 底面 ABCD ， N 点到底面 ABCD 的距离为1.易知 SBCD = 3 ， VN-BCD = 1331=33 .【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质 【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判断定理求证即可； （2）根据三棱锥的体积公式求解即可.2
29、1.在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . （1）证明： acosB+bcosA=c ； （2）若 a=7 ， b=5 ， 2c-bcosB=acosA. 求 ABC 的周长. 【答案】 （1）证明： ABC 中由余弦定理得 acosB+bcosA = aa2+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc = 2c22c = c . 原等式成立. (由正弦定理证明亦可)（2）解：由 2c-bcosB=acosA 可得 2ccosA=acosB+bcosA ， 由（1）知 acosB+bcosA = c ， 2ccosA=c ， cosA=12 . A=3 .又 a =7,
30、 b =5, a2=c2+b2-2bccos3 c2-5c-24=0 ，得 c =8或-3（舍去） c =8. ABC 的周长为a+b+c=20.【考点】余弦定理的应用，一元二次方程 【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）根据余弦定理，结合一元二次方程的解法求解即可.22.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E ， F ， G ， H 是所在棱的中点 （1）证明： A1E 平面 ABGH ； （2）求直线 A1F 与平面 ABGH 所成角的正弦值 【答案】 （1）证明：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB 面 A1ADD1 ， AB A1E . 在侧面
31、A1ADD1 中，易知 A1E AH ， A1E 面 ABGH .（2）解： 连接 B1F ，交 BG 于 N ， A1E 交 AH 于 M ，连接 MN ，由 A1E/B1F 知 M,N,A1,F 共面，设 A1FMN=P . 由（1）知 A1E 面 ABGH ， MP 为 A1P 在平面 ABGH 内的射影 A1PM 为 A1F 与平面 ABGH 所成的角. A1MP 中， A1M = 455 ， A1P = 125 ， sin A1PM = A1MA1P = 455125 = 53 .【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理以及判定定理求证即可； （2）根据直线与平面所成角的定义，运用几何法求解即可.
