1、第二节排列与组合 考点一排 列 问 题 例13名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾自主解答(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A2 520种排法(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A5 040种排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，根据分步乘法
2、计数原理， 共有AAA288种排法(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有AA1 440种排法(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A5种排法；再安排其他人，有A720种排法所以共有AA3 600种排法【互动探究】本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少种排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有AA720种排法 【方法规律】1解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看成一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内
3、部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法法定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列2解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(2)分排问题直排法处理(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法1(2012辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!解析：选C把一家三口看成一个排列，然后再排列这3家，所以满足题意的坐法种数为A(A)3(3！)4.2(2014南充模拟)将5
4、名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A30种 B90种 C180种 D270种解析：选B选分组，再排列分组方法共有，因此共有A90.考点二组 合 问 题 例2(1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A60 B63 C65 D66(2)(2013重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)自主解答(1)因为从1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或
5、全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有CCCC66种不同的取法(2)按每科选派人数分为3,1,1和2,2,1两类当选派人数为3,1,1时，有3类，共有CCCCCCCCC200种选派方法当选派人数为2,2,1时，有3类，共有CCCCCCCCC390种选派方法故共有590种选派方法答案(1)D(2)590【方法规律】1解决组合应用题的一般思路首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理2组合问题的常见题型及解题思路常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组问题解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为组合问题，对较复杂的组
6、合问题，要搞清是“分类”还是“分步”解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题3含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解1某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法的种数为()A30 B35 C42 D48解析：选A法一：分两种情况：(1)2门A,1门B，有CC12种选法；(2)1门A,2门B，有CC3618种选法所以共有121830种选法法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选
7、3门，A，B各至少选1门，有CCC351430种选法2两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)种数为()A10 B15 C20 D30解析：选C分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C12种情形所有可能出现的情形种数为261220.高频考点考点三 排列与组合的综合应用1排列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对排列与组合综
8、合应用题的考查主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特殊元素(位置)问题；(4)多元问题等例3(1)(2013烟台模拟)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有_种(用数字作答)(2)(2014西安模拟)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_种(用数字作答)自主解答(1)取出的4张卡片所标数字之和等于10，
9、共有三种情况：1144,2233,1234.所取卡片是1144的共有A种排法所取卡片是2233的共有A种排法所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有ACACACAA16A种排法，所以共有18A184321432种排法(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法丙传第一棒，共有CA种方法由分类加法计数原理得，共有AACA96种方法答案(1)432(2)96排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列(2)
10、相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用(3)特殊元素(位置)优先安排法优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置(4)多元问题分类法将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数18名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AAA BAC CAA DAC解析：选A相间问题用插空法，8名学生先排，有A种排法，产生9个空，2位老师插空，有A种排法，所以最终有AA种排法23位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种
11、数为()A360 B288 C216 D96解析：选B先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有CAAA种排法，再从中排除甲站两端的排法，所以所求排法种数为CAAA2CAAA6(61224)288.3将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：选出两人看成一个整体，再全排列共有CA36种分配方案答案：36课堂归纳通法领悟1个识别排列问题与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关3个注意点求解排列与组合问题的三个注意点(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决分类标准应统一，避免出现重复或遗漏(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题
