1、第12讲 函数与方程【学习目标】1结合二次函数的图象，掌握二次方程根的分布情况；2理解函数零点的概念和性质，会用二分法求函数的零点【基础检测】1下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()C 【解析】由二分法求零点步骤知选C.2已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的 x 与 f(x)的对应值表：x1234567f(x)132.115.42.318.726.31125.112.6那么，函数 f(x)在区间1，6上的零点个数至少有()A5 个B4 个C3 个D2 个C【解析】观察对应值表可知：f(1)0，f(2)0，f(3)0，f(5)0，f(6)0，所以函数 f(x
2、)在区间1，6上的零点个数至少有 3 个，故选 C.3函数 f(x)x1212x的零点个数为()A0 B1 C2 D3B【解析】函数 f(x)x1212x的零点个数即为方程 x1212x的实根个数，在平面直角坐标系中画出 yx12和 y12x的图象，易得交点个数为 1.4函数 f(x)xcos 2x 在区间0，2 上的零点的个数为()A2 B3 C4 D5D【解析】在区间0，2上，令 f(x)0，即 x0或 cos 2x0，x0 满足条件，当 cos 2x0 时，2x（2k1）2(kZ)，当 k0，1，2，3 时 x 分别对应值为4，34，54，74 均满足条件，故共有 5 个5若 f(x)(
3、m2)x2mx(2m1)0 的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则实数 m 的取值范围是14，12【解析】由题意得f（1）f（0）0，f（1）f（2）0，即（2m1）（2m1）0，（4m1）（8m7）0，解得14m0)根的分布根的分布x1x2kkx1x2x1kx2图象充要条件020f kbka 020f kbka 0f k 根的分布 x1、x2(k1，k2)k1x1k2x2k3在(k1，k2)内有且仅有一个根图象充要条件f(k1)f(k2)01212()0()02f kf kbkka 123()0()0()0f kf kf k2.函数的零点(1)定义：对于函数 yf(x)，我们把
4、使_的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点(2)函数有零点的几个等价关系：方程 f(x)0 有_函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有零点(3)函数有零点的判定(零点存在性定理)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且有_，那么函数 yf(x)在区间_内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的_f(x)0实根x轴连续不断f(a)f(b)0(a，b)f(c)0根3用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点 x1；(3)计算 f(x1)；若 f(x
5、1)0，则 x1 就是函数的零点；若 f(a)f(x1)0，则令 bx1(此时零点 x0(a，x1)；若 f(x1)f(b)0，则令 ax1(此时零点 x0(x1，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)(4)一、函数零点个数的判断例1(1)函数 f(x)ln xx22x5 的零点的个数是()A0 B1C2 D3C【解析】函数 f(x)ln xx22x5 的零点即为方程 ln xx22x5 的根，在同一坐标系下画曲线 yln x 和 yx22x5 的图象，由图象可得，零点的个数是2.(2)已知函数 f(x)kx1，x0，ln x，x0，则下列关
6、于函数 yf(f(x)1 的零点个数的判断正确的是()A当 k0 时，有 3 个零点；当 k0 时，有 4 个零点；当 k1 时，ln x0，yf(f(x)1ln(ln x)1，此时零点为 xe1e1；当 0 x1 时，ln x0 时，有 1 个零点，k0，无零点；当 x0 时，kx1，k2xk，则 k2xk0，有 1 个零点；当 k0 时，k2xk0，无零点；当 x0 时，yf(f(x)1ln(kx1)1，当 k0 时，由 y0，得 kx11e，有 1 个零点；当 k0，无零点；综上，当 k0 时，有 4 个零点，当 k0 时，有 1个零点【点评】(1)求函数零点的个数，往往转化成某两个熟悉
7、函数图象的交点个数去求解，体现数形结合思想(2)本题考查分段函数、复合函数的零点，解题的关键是分类讨论，确定函数 yf(f(x)1 的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题 确定函数零点的常用方法：(1)解方程判定法，若方程易求解时用此法；(2)零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；(3)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解二、由函数零点的存在情况求参数值例2若函数 f(x)x3axb(bR)
8、有 3 个零点，分别为 x1，x2，x3，且满足 x11，则实数 a 的取值范围是()A(，3)B(，2)C(，1)D(，0)A【解析】f(x)3x2a，f(x)有三个零点，a1，由图象，得a31，a3.【点评】高次函数的零点问题一般结合导数及图象来研究 已知函数有零点(方程有根)，求参数取值常用方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、二次函数根的分布问题例3已知关于 x 的二次方程 x22mx
9、2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围；(2)若方程两根均在(0，1)内，求 m 的取值范围【解析】令 f(x)x22mx2m1.(1)由二次函数图象可知：f（0）2m10f（1）4m20m12mRm56 所以56m0f（1）000m12m12m1 2或m1 21m0 12m1 2.【点评】一元二次函数的零点问题，即一元二次方程根的分布问题，通常转化为二次函数图象问题，利用等价转换思想求解备选题例4已知函数 f(x)2sin(x)，其中常数0.(1)令 1，判断函数 F(x)f(x)fx2 的奇偶性，并说明理由；(2)令 2，将函
10、数 yf(x)的图象向左平移6 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x)的图象对任意 aR，求 yg(x)在区间a，a10 上零点个数的所有值【解析】(1)当 1 时，F(x)2sin x2sinx2 2sin x2cos x 2 2sinx4，F(0)20，不是奇函数 F4 2 2F4 0，不是偶函数 综上所述，F(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)根据题意可得 g(x)2sin2x612sin2x3 1.T22 是 g(x)的最小正周期，当 x0，时，2x3 3，73，g(x)有两个不同的零点，根据函数的周期性可知，g(x)在a，a上有两个零点；g(x)在a，a10有 20 个
11、零点 当 a 恰好也是一个零点时，g(x)在a，a10有21 个零点；当 a 恰好不是一个零点时，g(x)在a，a10有20 个零点【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是 R，则零点将会有无数个一般来说需注意用数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题1解决一元二次方程根的分布问题，先构造二次函数，再作出符合根的分布的二次函数图象，由图象的直观形象可得出符合根的分布的必要条件，进而证明(或寻求)它也是其充要条件2利用函数 yf(x)的零点来研究方程 f(x)0 的根的分
12、布情况，是数形结合的体现此时，要构造合理的函数，根据函数值的情况判断其零点情况，但若要知道零点个数，还需结合函数的单调性3我们可用二分法来求方程的近似解由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算其流程图如下：(2014 湖北)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x23x，则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2 7，1，3 D2 7，1，3D【解析】求出当 x0 时 f(x)的解析式，分类讨论解方程即可 令 x0，所以 f(x)(x)23xx23x.因为 f(x)是定义在
13、R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)所以当 x0 时，f(x)x23x.所以当 x0 时，g(x)x24x3.令 g(x)0，即 x24x30，解得 x1 或 x3.当 x0 时，g(x)x24x3.令 g(x)0，即 x24x30，解得 x2 70(舍去)或 x2 7.所以函数 g(x)有三个零点，故其集合为2 7，1，3【点评】本题考查函数性质、函数零点，函数方程的关系1已知定义在 R 上的函数 f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数 yg(x)的图象是一条连续不断的曲线，则函数 f(x)在下列哪个区间内必有零点()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)B【解析】因为
14、f(x)(x1)(x2)g(x)3x4，则f(1)10，故选 B.2设函数 yx3 与 y12x2的图象的交点为(x0，y0)，则 x0 所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)B【解析】设 f(x)x312x2，则 f(0)12240，f(1)11211210，函数 f(x)在区间(1，2)内有零点，即 x0(1，2)3已知函数 f(x)logaxxb(a0，且 a1)，当2a3b4 时，函数 f(x)的零点 x0(n，n1)，nN*，则 n()A0 B1 C2 D3C【解析】由 ylogax 及 ybx 的图象，知函数 f(x)零点位于区间(1，4)上，验证即可 当
15、 n1 时，f(1)1b0，f(2)loga22b，又 2a3b4，f(2)0，n2.4函数 f(x)x22，x0，2x6ln x，x0的零点个数是_2【解析】当 x0 时，由 x220，得 x 2(x 2舍去)当 x0 时，y2x6 与 yln x 均为增函数，则 f(x)2x6ln x 为增函数又 f(2)226ln 2ln 220，故 f(x)在 x0 时有一个零点5已知函数 f(x)x22mx3m4 的两个零点均小于 1，则实数 m 的取值范围是.4，)【解析】由题意得f（1）0，mb，设 f(x)(2x1)*(x1)，且关于 x 的方程为 f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根
16、x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是.【解析】由定义可知，f(x)（2x1）x，x0，（x1）x，x0，作出函数 f(x)的图象，如图所示 1 316，0由图可知，当 0m14时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，不妨设 x1x20，且 x2x31，x2x3x2x32214.由（2x1）x14，x0，解得 x1 34或 x1 34(舍去)1 34x10，1 316x1x2x30，关于 x 的方程是 f2(x)af(x)0.(1)若 a1，则方程有_个实数根；(2)若方程恰有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为_【解析】(1)当 a1 时，f（x）1
17、 f(x)0，当f(x)0 时，解得 x1；当 f(x)1 时，解得 x0 或 x2，故方程有 3 个根 a 00 时，f(x)log2x 是增函数，且 f(x)R，故f(x)a 只可能有一个根，且 aR；当 x0 时，f(x)2x 也是增函数，且 f(x)0，1，故 f(x)a 也只可能有一个根，且有 a0，1，综上 a0，1.8定义函数 f(x)48x32，1x2，12fx2，x2.求函数g(x)xf(x)6在区间1，2n(nN*)内的所有零点的和【解析】当 1x32时，f(x)8x8，g(x)8x1228，此时当 x32时，g(x)max0；当32x2时，f(x)168x，g(x)8(x
18、1)220；由此可得 1x2 时，g(x)max0.下面考虑当 2n1x2n 且 n2 时，g(x)的最大值的情况 当 2n1x32n2 时，由函数 f(x)的定义知 f(x)12fx2 12n1fx2n1，1 x2n132，g(x)122n5(x2n2)28，此时当x32n2 时，g(x)max0；当 32n2x2n 时，同理可知，g(x)122n3(x2n1)220.由此可得当 2n1x2n 且 n2 时，g(x)max0.综上可得，对于一切的 nN*，函数 g(x)在区间2n1，2n上有 1 个零点，从而 g(x)在区间1，2n上有 n个零点，且这些零点为 xn32n2，因此，所有这些零
19、点的和为32(2n1)9已知定义在(0，)的函数 f(x)ln xax(aR)(1)当 a1 时，函数 f(x)在区间1，2上的部分函数值如下表：x11.251.3751.51.75f(x)10.580.44 0.26 0.012x1.765 73 1.781 25 1.812 51.8752f(x)0.0020.020.0430.0950.193请求出函数 f(x)在区间(1，2)上的零点(要求误差不超过 0.1)；(2)若方程 f(x)0 恰有 2 个不同的实数解，求实数a 的取值范围【解析】(1)假设 f(x)ln x1x在区间(1，2)上的零点为 x0，因为f(1)10，f(1.5)0
20、.260，所以 x0(1.5，2)因为 f(1.75)0.0120，所以 x0(1.75，1.875)，因为 f(1.812 5)0.0430，所以 x0(1.75，1.812 5)，而 1.812 51.750.062 50，x(0，)，即 f(x)ln xax在(0，)上为单调增函数，故 f(x)0 在(0，)不可能有两实根，a0.当 a0 时，令 f(x)0，解得 xa.当 0 xa 时，f(x)a 时，f(x)0，f(x)在(a，)上递增，f(x)在 xa 处取到极小值 ln(a)1.又当 x0 时，f(x)，当 x时，f(x).要使 x0 时，f(x)与 x 轴有两个交点，当且仅当 ln(a)10，解得1ea0，故实数 a 的取值范围是1e，0.
