1、2016新课标名师导学新高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十五)(空间图形的有关计算)时间：60 分钟 总分：100 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30分每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有 4 个命题：若 pxayb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 pxayb；若MP xMA yMB，则 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，则MP xMA yMB.其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】正确，中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立，正确，中若 M、A、B 共线，点 P 不在此
2、直线上，则MP xMA yMB 不正确B2底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，N为BB1的靠近 B的三等分点，若A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则下列向量中与MN 相等的向量是()A12a12b13cB.12a12b13cC.12a12b13cD12a12b23c【解析】MN MB BN 12D1B1 13BB1 12(A1B1 A1D1)13A1A 12a12b13c.C3如图，E、F 分别是三棱锥 PABC的棱 AP、BC 的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为()A
3、30B45C60D90【解析】取 AC 的中点 D，连结 DE、DF，则EDF 或其补角为 AB 与 PC 所成的 角，利 用 余 弦 定 理 可 求 得 EDF120，所以异面直线 AB 与 PC 所成的角为 60.故选 C.C4如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD所在的平面，AB2，E 为 PB 的中点，cos DP，AE 33，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为()A(1，0，1)B(1，1，1)C(2，1，1)D(2，0，1)【解析】设 PDa，则 A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E1，1，a2，DP(0
4、，0，a)，AE 1，1，a2，由 cosDP，AE 33，a22 a2a24 33，a2.E 的坐标为(1，1，1)B5在空间四边形 ABCD 中，AB CD AC DB AD BC()A1 B0C1 D不确定【解析】解法一：如图，在空间四边形ABCD 中，连接对角线 AC，BD，得三棱锥ABCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，正四面体的对棱互相垂直，AB CD 0，AC DB 0，AD BC 0.AB CD AC DB AD BC 0.解法二：在解法一的图中，选取不共面的向量AB，AC，AD 为基底，则原式AB(AD AC)AC(AB AD)AD(AC AB)AB AD AB AC
5、AC AB AC ADAD AC AD AB 0.B6如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD，SD2，AD 2，则二面角 CASD 的余弦值为()A.15B.25C.65D.105【解析】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz.则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，得SA(2，0，2)，SC(0，2，2)D设平面 ACS 的一个法向量为 n(x，y，z)，则nSA0，nSC0，即 2x2z0，2y2z0.取 z 2，得 n(2，2，2)易知平面 ASD 的一个法向量为DC(0，2，0)设二面角 CASD 的
6、大小为，则 cos nDC|n|DC|105.即二面角 CASD 的余弦值为 105.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分，将各小题的结果填在题中横线上)7已知空间三点 A(1，1，1)，B(1，0，4)，C(2，2，3)，则AB 与CA 的夹角 的大小是_【解析】因为AB(2，1，3)，CA(1，3，2)，所以 cosAB，CA AB CA|AB|CA|（2）（1）（1）33（2）14 14714 12，又 0AB，CA 180，所以 AB，CA 120.1208已知正方体 ABCDA1B1C1D1，P，M 为空间任意两点，如果有PM PB1 6AA1 7BA 4A1D
7、1，那么M 点一定在平面_ _内【解析】因为PM PB1 BA 6BA 6AA1 4A1D1，所以B1M BA 6BA1 4A1D1 B1A1 2BA1 4BD1，所以B1M B1A1 2BA1 4BD1，所以A1M 2BA1 4BD1，故A1M，BA1，BD1 共面于平面 A1BCD1，即 M 点一定在平面 A1BCD1 内A1BCD19已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 P在线段 BD1 上当APC 最大时，三棱锥 PABC 的体积为_.118【解析】以 B 为坐标原点，BA 为 x轴，BC 为 y 轴，BB1 为 z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设BPBD1，可得
8、P(，)，再由 cosAPCAPCP|AP|CP|可求得当13时，APC 最大，故 VPABC13121113 118.10如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角 B1DCC1 的大小为 60，则 AD的长为_2【解析】如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)设 ADa，则 D 点坐标为(1，0，a)，CD(1，0，a)，CB1(0，2，2)，设平面 B1CD 的一个法向量为 m(x，y，z)则mCB1 0mCD
9、 02y2z0 xaz0，令 z1，得 m(a，1，1)，又平面 C1DC 的一个法向量为n(0，1，0)，则由 cos 60 mn|m|n|，得1a2212，即 a 2，故 AD 2.三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11(16 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形(1)证明：BN平面 C1B1N；(2)设直线C1N与平面CNB1所成的角为，求cos 的值【解析】(1)证明：证法一：由题意，该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 则 B1C1平面 ABB
10、1N，且在平面 ABB1N 内，易证BNB1 为直角 B1C1平面 ABB1N，且 BN平面 ABB1N，B1C1BN 又BNB1N，且 B1NB1C1B1，BN平面 B1NC1.证法二：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 则 BA，BB1，BC 两两垂直 以 BA，BB1，BC 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4)，C(0，0，4)，BN NB1 0，BN B1C1 0 BNNB1，且 BNB1C1，又B1NB1C1B1 BN平面 B1NC1.(2)解法一：利用等体积法可求 C1 到平面 CB1N
11、的距离为 h4 63，则直线 C1N 与平面 CNB1所成的角 的正弦值为 sin 23，从而 cos 73.解法二：设 n(x0，y0，z0)为平面 CNB1 的一个法向量，则nCN 0nNB1 0即x0y0z00 x0y00，令 x01，则 n(1，1，2)又C1N(4，4，4)则 sin|cosn，C1N|23，从而 cos 73.12(16 分)在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABACAA1 5，BC4，A1在底面 ABC 的射影是线段 BC 的中点 O.(1)证明：在侧棱 AA1 上存在一点E，使得 OE平面 BB1C1C，并求出 AE 的长；(2)求二面角 A1B1CC1 的
12、余弦值【解析】(1)证明：连接 AO，在AOA1 中，作 OEAA1 于点 E，因为 AA1BB1，所以 OEBB1，因为 A1O平面 ABC，所以 BC平面 AA1O，所以 BCOE，所以 OE平面 BB1C1C，又 AO AB2BO21，AA1 5，得 AEAO2AA1 55.(2)如图，分别以 OA，OB，OA1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)由AE 15AA1，得点 E 的坐标是45，0，25，由(1)知平面 B1CC1 的一个法向量为OE 45，0，25 设平面 A1B1C 的法向量是 n(x
13、，y，z)，由nAB 0，nA1C 0得x2y0，yz0，可取 n(2，1，1)，所以 cosOE，nOE nOE n 3010.13(18 分)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD4，AB2.以 AC 的中点 O为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点M，交 PC 于点 N.(1)求证：平面 ABM平面 PCD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值；(3)求点 N 到平面 ACM 的距离【解析】(1)依题设知，AC 是所作球面的直径，则AMMC.又因为 PA平面 ABCD，则 PACD，又 CDAD，所以 CD平面 PAD，则 CDA
14、M，所以 AM平面 PCD，所以平面 ABM平面 PCD.(2)由(1)知，AMPD，又 PAAD，则 M 是 PD 的中点可得 AM2 2，MC MD2CD22 3 则 SACM12AMMC2 6 设 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 VDACMVMACD 即 2 6h8，可求得 h2 63，设所求角为，则 sin hCD 63.(3)可求得 PC6.因为 ANNC，由PNPAPAPC，得 PN83.所以 NCPC59.故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的59.又因为 M 是 PD 的中点，则 P、D 到平面 ACM 的距离相等，由(2)可知所求距离为59h10 627.
