1、31.2复数的几何意义预习课本P5253，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？ 1复平面2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR) 复平面内的点Z(a，b)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量.3复数的模(1)定义：向量OZ的模r叫做复数zabi(a，bR)的模(2)记法：复数zabi的模记为|z|或|abi|.(3)公式：|z|abi|r(r0，rR)点睛实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数
2、是z00i0，表示的是实数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()(3)复数的模一定是正实数()答案：(1)(2)(3)2已知复数zi，复平面内对应点Z的坐标为()A(0,1)B(1,0)C(0,0)D(1,1)答案：A3向量a(1，2)所对应的复数是()Az12i Bz12iCz12i Dz2i答案：B4已知复数z的实部为1，虚部为2，则|z|_.答案：复数与点的对应关系典例求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内(2)在复平面内的x
3、轴上方解(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a3.(2)点Z在x轴上方，则即(a3)(a5)0，解得a5或a3.一题多变1变设问本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值解：点Z在x轴上，所以a22a150且a30，所以a5.故a5时，点Z在x轴上2变设问本例中条件不变，如果点Z在直线xy70上，求实数a的值解：因为点Z在直线xy70上，所以a22a1570，即a32a215a300，所以(a2)(a215)0，故a2或a.所以a2或a时，点Z在直线xy70上利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)
4、来表示，是解决此类问题的根据(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解 复数的模典例(1)若复数z对应的点在直线y2x上，且|z|，则复数z()A12iB12iC12i D12i或12i(2)设复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a的取值范围是()A(，1)(1，) B(1,1)C(1，) D(0，)解析(1)依题意可设复数za2ai(aR)，由|z|得 ，解得a1，故z12i或z12i.(2)因为|z1| ，|z2|，所以，即a245，所以a21，即1a1.答案(1)D(2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实
5、部和虚部，再利用模长公式计算虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解 活学活用1如果复数z1ai满足条件|z|2，那么实数a的取值范围是()A(2，2) B(2,2)C(1,1) D(，)解析：选D因为|z|2，所以2，则1a24，a23，解得a.2求复数z168i与z2i的模，并比较它们的模的大小解：z168i，z2i，|z1|10，|z2| .10，|z1|z2|.复数与复平面内向量的关系典例向量对应的复数是54i，向量对应的复数是54i，则+对应的复数是()A108i B108iC0 D108i解析因为向量对应的复数是54i
6、，向量对应的复数是54i，所以(5, 4), (5, 4)，所以(5，4)(5,4)(0,0)，所以+对应的复数是0.答案C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|zz1|表示点Z到点Z1之间的距离如|zi|1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1. 活学活用在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模z11i；z2i；z32；z422i.解：在复平面内分别画出点Z1(1，1)，Z2，Z3(2,0)，Z4(2,2
7、)，则向量，, ,分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示各复数的模分别为：|z1|；|z2| 1；|z3|2；|z4|2.层级一学业水平达标1与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是()Ae1对应实数1，e2对应虚数iBe1对应虚数i，e2对应虚数iCe1对应实数1，e2对应虚数iDe1对应实数1或1，e2对应虚数i或i解析：选Ae1(1,0)，e2(0,1)2当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dm1，3m20，m10，点(3m2，m1)在第四象限3已知0a2，复数za
8、i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A(1，) B(1，)C(1,3) D(1,5)解析：选B|z|，0a2，1a215，|z|(1，) 5复数z1cos isin (2)的模为()A2cos B2cosC2sin D2sin解析：选B|z|2|cos|.2，cos0，于是|z|2cos.6复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_解析：由点(3，5)，(1，1)，(2，a)共线可知a5.答案：57过原点和i对应点的直线的倾斜角是_解析：i在复平面上的对应点是(，1)，tan (0)，.答案：9设z为纯虚数，且|z1|1i|，求复数z.解：z为纯虚数，设
9、zai(aR且a0)，又|1i|，由|z1|1i|，得 ，解得a1，zi.10已知复数zm(m1)(m22m3)i(mR)(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围解：(1)z为实数，m22m30，解得m3或m1.(2)z为纯虚数，解得m0.(3)z所对应的点在第四象限，解得3m0.故m的取值范围为(3,0)层级二应试能力达标1已知复数z12ai(aR)对应的点在直线x3y40上，则复数z2a2i对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B复数z12ai对应的点为(2，a)，它在直线x3y40上，故
10、23a40，解得a2，于是复数z222i，它对应点的点在第二象限，故选B.2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0解析：选Dz在复平面内对应的点在虚轴上，a22a0，解得a2或a0.3若x，yR，i为虚数单位，且xy(xy)i3i，则复数xyi在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Axy(xy)i3i，解得复数12i所对应的点在第一象限4在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|2，|z2|，则z2()A45i B54iC34i D54i或i解析：选D设z2xy
11、i(x，yR)，由条件得，或故选D.5若复数z(m29)(m22m3)i是纯虚数，其中mR，则|z|_.解析：由条件知m3，z12i，|z|12.答案：126已知复数zx2yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是_解析：由模的计算公式得 2，(x2)2y28.答案：(x2)2y287已知复数z0abi(a，bR)，z(a3)(b2)i，若|z0|2，求复数z对应点的轨迹解：设zxyi(x，yR)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知z0abi，|z0|2，a2b24.将代入得(x3)2(y2)24.点P的轨迹是以(3，2)为圆心，2为半径的圆8已知复数z1i，z2i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设zC，满足条件|z2|z|z1|的点Z的轨迹是什么图形？解：(1)|z1| 2，|z2| 1，|z1|z2|.(2)由|z2|z|z1|及(1)知1|z|2.因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|1表示|z|1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|2表示|z|2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示
