1、专题限时集训(四)A第4讲导数在研究函数性质中的应用及定积分(时间：10分钟35分钟)1函数yxex的图象在点(1，e)处的切线方程为()Ayex Byx1eCy2ex3e Dy2exe2已知函数f(x)的图象如图41所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()图41A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D94如图42，设T是直线x1，x2与函数yx2的图象在x轴上方围成的直角梯形区
2、域，S是在T上函数yx2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分)向T中随机投一点，则该点落入S中的概率为()图42A. B. C. D.10(xsinx)dx等于()A.1 B.1C. D.12函数f(x)x3bx2cxd的大致图象如图43所示，则xx等于()图43A. B. C. D.3函数f(x)在2,2上的最大值为2，则a的范围是()A. B.C(，0 D.4已知函数f(x)x3ax2bxc，若f(x)在区间(1,0)上单调递减，则a2b2的取值范围是()A. B.C. D.5已知实数a为7的展开式中x2的系数，则dx_.6设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点对称，则f(1
3、)f(2)f(22)f(2100)_.7.已知函数f(x)ex(x0)，其中e为自然对数的底数(1)当a2时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的面积；(2)若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a的值8已知函数f(x)alnxx21.(1)若曲线yf(x)在x1处的切线方程为4xyb0，求实数a和b的值；(2)求证：f(x)0对任意x0恒成立的充要条件是 a2；(3)若a0，且对任意x1、x2(0，)，都|f(x1)f(x2)|x1x2|，求a的取值范围专题限时集训(四)A【基础演练】1D【解析】 因为yexxex，所以在点x1处函数的
4、导数值是y|x1ee2e，所以在点(1，e)处函数图象的切线方程是ye2e(x1)，即y2exe.2B【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在2,3上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率所以0f(3)f(2)，即0f(3)f(3)f(2)0，所以f(x)在(1，)上是增函数(2)f(x)(x0)，当x1，e，2x2a2a,2e2a若a2，则当x1，e时，f(x)0，所以f(x)在1，e上是增函数，又f(1)1，故函数f(x)在1，e上的最小值为1.若a2e2，则当x1，e时，f(x)0，所以f(x)在1，e上是减函数，又f(e)e2a，所以f(x)在1，e
5、上的最小值为e2a.若2a2e2，则：当1x时，f(x)0，此时f(x)是减函数；当0，此时f(x)是增函数又fln，所以f(x)在1，e上的最小值为ln.综上可知，当a2时，f(x)在1，e上的最小值为1；当2a0恒成立且x2系数为正，f(x)在R上单调等价于x2(a2)xa20恒成立(a2)24(a2)0，2a2，即a的取值范围是2,2，(3)当a时，f(x)ex，f(x)ex，令f(x)0，得x或x1，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得x0，b0，ab29，当且仅当ab3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.4B【解析】 根据几何概型的意义，这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯形
6、面积之比根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为1x2dxx33.直角梯形区域的面积是3，故所求的概率是.【提升训练】1B【解析】 0(xsinx)dx01.2C【解析】 从函数图象上可知x1，x2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b，c，d，根据函数图象得d0，且f(1)1bc0，f(2)84b2c0，解得b1，c2，故f(x)3x22x2.根据韦达定理xx(x1x2)22x1x2.3D【解析】 当x0时，f(x)6x26x，函数的极大值点是x1，极小值点是x0，当x1时，f(x)2，故只要在0,2上eax2即可，即axln2在(0,2上恒成立，即a在(0,2上恒成立，故
7、aln2.4C【解析】 根据三次函数的特点，函数f(x)在(1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f(x)3x22axb在区间(1,0)上小于或者等于零恒成立，即32ab0且b0，把点(a，b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如下图根据a2b2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线32ab0的距离的平方5e7eln7【解析】 Tr1C7r(1)r2rxr(1)r22r7Cx，当r1时，T2x2，x2的系数为.a.e7eln7.60【解析】 根据函数图象关于对称，可得f(1x)f(x)2，由于函数是偶函数可得f(x1)f(x)2，进而得f(x)f(x1)2，由此得f(x1)f(x1)，
8、进而f(x2)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数，其中在x0的导数等于零，根据周期性，在x2,22，2100处的导数都等于零再根据函数可导和f(x1)f(x)2，可得f(x1)f(x)0，令x1可得f(1)0.故所求的结果是0.7【解答】 (1)f(x)ex，当a2时，f(x)ex，f(1)e1e，f(1)e，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为yex2e，切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，2e)，所以，所求面积为2|2e|2e.(2)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程x2axa0在(0，)内存在两个不等实根，则
9、所以a4.设x1，x2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点，则x1x2a，x1x2a，因为f(x1)f(x2)e5，所以，ex1ex2e5，即ex1x2e5，化简得eae5，解得a5，此时f(x)有两个极值点，所以a5.8【解答】 (1)f(x)2x(x0)，f(1)a2，又f(1)0，所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(a2)(x1)，即(a2)xy2a0，由已知得a24,2ab，所以a6，b4.(2)证明：充分性：当a2时，f(x)2lnxx21，此时f(x)2x(x0)，当0x0，当x1时，f(x)0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数，而f(1)0，故0x0，与f(x)0恒成立矛盾，所以a0不成立，当a0时，f(x)(x0)，当0x0，当x时，f(x)f(1)0与f0不符所以a2.综上，f(x)0对任意x0恒成立的充要条件是a2；(3)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数，不妨设00)，2x2xa0在x0时恒成立，18a0，a，又a0，a的取值范围是.
