1、第1章 基本不等式和证明不等式的基本方法1.5 分析法与综合法 学习目标重点难点1.理解分析法、综合法的解题步骤及书面表达2.能够应用分析法、综合法证明简单不等式.1.重点是理解分析法、综合法的数学思想2.难点是综合利用分析法、综合法证明简单不等式.1分析法从欲证的不等式出发，执“果”索“因”，层层推求使结论成立的_条件，直至能够肯定这些_条件已经具备为止，进而断言原不等式成立，这种方法称为分析法充分充分用 Q 表示要证明的不等式，分析法可用框图表示为 QP1 P1P2 P1P3 得到一个明显成立的条件 求证：32 2 7 6.证明：要证原不等式成立，只需证 3 62 2 7，只需证(3 6)
2、2(2 2 7)2，即证 156 6154 14.只需证 3 62 14，即证 54 56.而 5456，54 56成立原不等式成立2综合法所谓综合法就是由“因”导“果”，从题设条件出发，利用已知_、_、_等逐步推进，证得所要求证的结论的方法定义公理定理用 P 表示已知条件或已有的不等式，用 Q 表示所要证明的结论，综合法可用框图表示为 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ试分析综合法与分析法证明不等式的逻辑关系提示：综合法：A(已知)B1B2BnB(结论)，逐步推演不等式成立的必要条件分析法：B(结论)BnBn1B1A(已知)，步步寻求不等式成立的充分条件用分析法证明不等式已知 a0，求证：a
3、21a2 2a1a2.证明：要证原不等式成立，只需证a21a22a1a 2，即证a2 1a24a21a24a1a22 2a1a 2.只需证 2a21a2a1a，即证 2a21a2 a21a22.只需证 a21a22.由平均值不等式知 a21a22，显然成立原不等式成立【点评】用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B也可以是A的充要条件1设 x1，y1，求证：xy 1xy1x1yxy.证明：由于 x1，y1，要证 xy 1xy1x1yxy，只需证 xy(xy)1yx(xy)2.yx(xy)2xy(xy)1(x
4、y)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，又x1，y1，(xy1)(x1)(y1)0.故所要证明的不等式成立用综合法证明不等式已知 x0，y0，xy1.求证：11x 11y 9.证法一：x0，y0,1xy2 xy，xy14.11x 11y 11x1y 1xy1xyxy 1xy1 2xy189.证法二：1xy，11x 11y 1xyx1xyy2yx 2xy 52xyyx.又x0，y0，xyyx2.11x 11y 5229.【点评】(1)运用综合法证明不等式，即从已知的不等式和不等式的性质出发推导出所要证的不等式成立(2)
5、一些重要不等式及其变形是证明不等式最常用到的工具之一，尤其是不等式 2abab abab2 a2b22(a0，b0)，不但可以用来证明不等式，还可用来求最值2已知 a，b，cR，且互不相等，abc1.求证：a b c1a1b1c.证法一：a，b，cR，且互不相等，abc1，a b c1bc1ac1ab121b1c 121a1c 121a1b 1a1b1c.证法二：a，b，cR，且互不相等，abc1，1a1b1cbcacabbcac2acab2abbc2abc2 a2bc ab2c a b c.结合分析法与综合法来证明不等式已知 a，b，cR，且 abbcca1.求证：abc 3.证明：要证 a
6、bc 3，由于 a，b，cR，因此只需证(abc)23.即证 a2b2c22(abbcca)3.根据条件，只需证 a2b2c21abbcca.而 abbccaa2b22b2c22c2a22a2b2c2(当且仅当 abc 33 时取等号)成立，原不等式成立互动探究本例条件不变，求证：abcbaccab 3(a b c)证明：abcbaccababcabc，在本例中已证 abc 3，要证原不等式只需证 1abc a b c，即证 a bcb acc ababbcca.而 a bcabac2，b acabbc2，c abacbc2，a bcb acc ababbcca(当且仅当 abc33 时取等号
7、)成立原不等式成立【点评】在证明不等式的过程中，分析法、综合法常常是不能分离的当运用综合法证明不等式难以入手时，常运用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律有时问题的证明难度较大，常运用分析综合法，实现从两头往中间靠以达到证题的目的3已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lgab2 lgbc2lgca2 lg alg blg c.证明：要证 lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c，只需证 lgab2 bc2 ca2lg(abc)，即证ab2 bc2 ca2 abc.由于ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0，且上述三式
8、中的等号不全成立，ab2 bc2 ca2 abc.lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c.1分析法证明不等式(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆2综合法证明不等式揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式3分析法与综合法(1)分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法综合运用(2)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论出现为止点击进入WORD链接点击进入WORD链接谢谢观看！
