1、第41讲 古典概型与几何概型【学习目标】1理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数以及事件发生的概率2了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率3了解几何概型的意义及其概率计算方法，能计算简单的几何概型的概率【基础检测】1从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12B.13C.14D.16【解析】从1，2，3，4中任意取出2个数，一共有如下情形：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种设事件A为：取出的2个数之差的绝对值为2，则事件A包含的情形如下：(1，3)，(2，4)，共2种根据古典概型，
2、得到事件A发生的概率为P(A)2613.答案为B.B2设函数f(x)x2，x5，5若从区间5，5内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f(x0)0的概率为()A0.5 B0.4 C0.3 D0.2C3如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_【解析】几何概型与随机模拟实验的关系 由题意知，这是个几何概型问题，S阴S正1801 0000.18,S 正1，S 阴0.18.0.184如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是
3、_135利用计算机模拟来估计未来三天中恰有两天下雨的概率过程如下：先产生 0 到 9 之间均匀整数随机数，用 1、2、3、4 表示下雨，用 5、6、7、8、9、0表示不下雨，这样可以体现每一天下雨概率都是 40%；因为是三天，所以每三个随机数作为一组，共产生 20组：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683431，257，393，027，556，488，730，113，537，989则三天中恰有两天下雨的概率近似为_25%【知识要点】1古典概型(1)基本事件基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果 称为基本事件基本事件的特点：任何两个基本事件是_任何
4、事件都可以表示成基本事件的和(2)古典概型的特点有限性：所有的基本事件只有_；等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的故将具有这两个特点的概率模型称为古典概型互斥的有限个(3)古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件发生的概率都是1n.如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 发生的概率 P(A)mnA中所含的基本事件数基本事件总数2几何概型(1)几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都是一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区
5、域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理的随机试验，称为(2)几何概型的特点无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有；等可能性：每个基本事件出现的可能性几何概型无限多个相等这里要求 D 的测度不为 0，其中“测度”的意义依D 确定，当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积3随机数与模拟方法(1)随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样(2)通过实物实验或计算机模拟实验，统计事件 A 发生的频数 m，实验次数 n，得出频率mn，再用之估计概率(3)几何概型计算公式一般地，在几何区
6、域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)d的测度D的测度一、古典概型的计算例1某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；(2)假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为12，数据如图1所示，经过同学们的大力宣
7、传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？【解析】(1)设三个“非低碳小区”为A，B，C，两个“低碳小区”为m，n，用(x，y)表示选定的两个小区，x，yA，B，C，m，n，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是(A，B)，(A，C)，(A，m)，(A，n)，(B，C)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)，(m，n)用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6个，它们是：(A，m)，(A，n)，(B，m)，(B，n)，(C，m)，(C，n)故所求概率为P(D)61035.(2)由图1可知
8、月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75，所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准二、几何概型的计算例2(1)在区间2，3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为()A.45B.35C.25D.15B(2)向同一个不能同时停泊两艘轮船的小型码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一艘轮船不需要等待码头空出的概率；如果甲船停泊时间是4小时，乙船停泊时间是2小时，求它们中任何一艘轮船不需要等待码头空出的概率【解析】设甲、乙两艘轮船到达的时间分别是x，y时刻，则0 x24
9、0y24|xy|4，对应的平面区域如图 设“两艘轮船不需要等待码头空出”为事件A，由几何概型概率计算公式 P(A)212202024242536.设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别是x，y，则0 x240y24yx4xy2，对应的平面区域如图 设“两艘轮船不需要等待码头空出”为事件B 则P(B)1220201222222424221288.【点评】(1)解决概率问题先判断概型，本题两个小题都属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性要抓住它的本质特征，即与长度(面积或体积)有关(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度然后求解
10、，应特别注意准确表示所确定的线段的长度(3)当事件A可以用面积来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对应的面积的比值来计算事件A发生的概率三、古典概型与几何概型的综合应用例3已知关于x的一元二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1，2，3和Q1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域xy80，x0，y0内的随机点，记Ayf(x)有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1，求事件A发生的概率【解析】(1)函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x 2ba，要使f(x)ax24bx1在区间1，)上为增
11、函数，当且仅当a0且2ba 1，即2ba.若a1，则b1；若a2，则b1，1；若a3，则b1，1 记事件B为“函数yf(x)在区间1，)上是增函数”，则事件B包含基本事件的个数是1225，P(B)51513.(2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为（a，b）|ab80a0b0，其面积 S128832 事件 A 构成的区域：A（a，b）|ab80a0b0f（1）0b0a4b10，16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216.设“方程有两个正实根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6，2)，(6，3)共2个，故所求的概率为P(A)21216.(2)试验的全部结果构成区域(a，b)|2a
12、6，0b4，其面积为 S()16，设“方程无实根”为事件 B，则构成事件 B 的区域为 B(a，b)|2a6，0b4，(a2)2b216，其面积为 S(B)14424.故所求的概率为 P(B)416 4.1解决古典概型问题的关键是求出基本事件的总个数和事件A包含的基本事件数用列举法把基本事件一一列举出来，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序，做到不重复、不遗漏2解决几何概型问题的关键是构造出事件对应的几何图形根据实际问题的具体情况，合理设置变量参数，某区间上的一元实参数问题一般转化为长度型几何概型，二元实参数问题一般转化为面积型几何概型1(2014 湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子，
13、它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则()Ap1p2p3Bp2p1p3Cp1p3p2Dp3p1p2C【解析】利用古典概型求各个事件的概率，再比较大小 随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有 36 种事件“向上的点数之和不超过 5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共 10 种，其概率 p11036518.事件“向上的点数之和大于 5”与“向上的点数之和不超过 5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于 5”的概率
14、 p21318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率 p312.故 p1p3p2.2(2014 重庆)某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：307：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 5分钟到校的概率为_(用数字作答)932【解析】在平面直角坐标系中画出由小王(x)和小张(y)到校的时间对应的点(x，y)所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到 5 分钟对应的点(x，y)所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可 设小王到校时间为 x，小张到校时间为 y，则小张比小王至少
15、早到 5 分钟时满足 xy5.如图，原点 O表示 7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为 400，小张比小王至少早到 5 分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为1215152252，故所求概率 P2252400 932.【点评】(1)考查了古典概率，基本事件的个数可用列举法(2)考查了几何概率的计算，这个高考题与必修三教材中例题高度相似，复习中要重视教材上例题1袋中装有大小、形状完全相同的标有 1，2，3，4，5，6 的六个球，若有放回地随机摸取 2 次，则摸出的两球上的标号之和为 4 的概率为()A.115B.110C.11
16、2D.118C2从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中任取 2 张，这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率是()A.15 B.25C.310D.710【解析】从 5 张卡片中任取 2 张共有 10 个基本事件，即 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中按字母顺序相邻排列的情形有 4 种：AB，BC，CD，DE，故所求事件的概率为 P 41025.B3若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD中，其中 AB2，BC1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A.2B.4C.6D.8【解析】利用几何概型概率公式，用面积度量 设质点落在以
17、AB 为直径的半圆内为事件 A，则P(A)阴影面积长方形面积121212 4.B4已知 A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点 A，则 AA的长度小于半径的概率是()A.12B.32C.14 D.13D【解析】如图，满足 AA的长度小于半径的点 A位于劣弧 BAC 上，其中ABO 和ACO 为等边三角形，可知BOC23，故所求概率为 P23213.5王先生订了一份潇湘晨报，送报人在早上630730 之间把报纸送到他家，王先生离开家去上班的时间在早上 700800 之间，则王先生在离开家之前能得到报纸的概率是_【解析】设送报人到王先生家的时间为 x，王先生离开家的时间为 y，王先生在离开家
18、之前能得到报纸为事件 A，则 6.5x7.5，7y8，yx.上述不等式组表示的平面区域如图所示据几何概型的概率计算公式，得 P(A)112121278.786在边长为 a 的正方形 ABCD 内随机取一点 P，则APB90的概率是_【解析】P(A)12a22a28.87已知关于 x 的一次函数 ykxb(xR)(1)设集合 P1，1，2，3，从集合 P 中随机取一个数作为 k，求函数 ykxb 是递减函数的概率；(2)实数对(k，b)满足条件kb10，0k0，函数 ykxb 的图象不经过第四象限的条件是：b0.作出(k，b)对应的平面区域如下图中的梯形ABCD，其面积是 S1（12）1232，
19、符合限制条件的(k，b)对应的平面区域如图中的三角形 BOC，其面积是 S212，故所求概率是 PS2S113.8甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校2 男 1 女，乙校 1 男 2 女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率；(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率【解析】(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1名，所有可能的结果为(甲男 1，乙男)、(甲男 2，乙男)、(甲男 1，乙女 1)、(甲男 1，乙女 2)、(甲男 2，乙女1)、(甲男 2，乙女
20、2)、(甲女，乙女 1)，(甲女，乙女2)，(甲女，乙男)，共 9 种；选出的 2名教师性别相同的结果有(甲男 1，乙男)、(甲男 2，乙男)、(甲女，乙女 1)、(甲女，乙女 2)共 4种；所以选出的 2 名教师性别相同的概率为49.(2)从报名的 6 名教师中任选 2 名，所有可能的结果为(甲男 1，乙男)、(甲男 2，乙男)、(甲男 1，乙女1)、(甲男 1，乙女 2)、(甲男 2，乙女 1)、(甲男 2，乙女 2)、(甲女，乙女 1)、(甲女，乙女 2)、(甲女，乙男)、(甲男 1，甲男 2)、(甲男 1，甲女)、(甲男 2，甲女)、(乙男，乙女 1)、(乙男，乙女 2)、(乙女 1，
21、乙女 2)，共 15 种；选出的 2 名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男 1，甲男 2)、(甲男 1，甲女)、(甲男 2，甲女)、(乙男，乙女 1)、(乙男，乙女 2)、(乙女 1，乙女 2)，共 6 种；所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 61525.9已知向量 a(2，1)，b(x，y)(1)若 x1，0，1，2，y1，0，1，求向量 ab 的概率；(2)若 x1，2，y1，1，求向量 a，b 的夹角是钝角的概率【解析】(1)设“ab”为事件 A，由 ab，得 x2y.基本事件有(1，1)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(0，0)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)，(2，1)共 12 个 符合条件的有(0，0)，(2，1)2 个则概率 P(A)21216.(2)设“a、b 的夹角是钝角”为事件 B.由题意 ab0，即 2xy0，且 x2y.（x，y）1x21y1，B（x，y）1x21y12xy0 x2y.区域图如下图：则 P(B)121232 23213.
