1、第25讲解三角形夯实基础【p59】【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理解斜三角形，进行有关计算【基础检测】1在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a3，b5，c7，那么cos C的值是()A. B C. D.【解析】由余弦定理可得cos C.故选B.【答案】B2已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75 B60 C45 D30【解析】SBCCAsin C43sin C3，解得sin C，又因为ABC为锐角三角形，C，所以C60，故选B.【答案】B3如图，在200 m高的山顶A上，测得山下一塔顶B与塔底C的俯角分别是30，60，则塔高CB为()A. m
2、 B. mC. m D. m【解析】如图所示，设塔高CB为x，则山高AO200，且AOCD为矩形，所以tan 30，AD(200x)，所以tan 60，AD，由(200x)得x(米)故选A.【答案】A4设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_【解析】由3sin A2sin B，得3a2b，即ba3.在ABC中，由余弦定理cos C，得，解得c4.【答案】4【知识要点】1正弦定理及变式(1)_2R_(2)a_2Rsin_A_，b_2Rsin_B_，c_2Rsin_C_(3)sin A_，sin B_，sin C_(4)sin Asin
3、Bsin C_abc_2余弦定理及变式a2_b2c22bccos_A_b2_a2c22accos_B_c2_b2a22bacos_C_cos A_cos B_cos C_3三角形的面积公式Sabsin C_acsin_B_bcsin_A_4(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_上方_叫仰角，目标视线在水平视线_下方_叫俯角(如图)(2)方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等(3)方位角指从_正北_方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)5应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤(1)根据题意画出示意图；(2)确
4、定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和未知元；(3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；(4)给出答案6从理论上讲正弦定理可解决两类问题(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解例如：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况.A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabab解的个数无解一解两解一解一解无解典 例 剖 析【p60】考点1三角形解的个数(1)已知在ABC中，b2，c2，C30，那么解此三角形可得()A一解 B两解C无解
5、D解的个数不确定【解析】，sin B，bc，B60或120，故解此三角形可得两解【答案】B(2)在ABC中，若b2，a2，且三角形有解，则A的取值范围是_【解析】由正弦定理得sin Asin Bsin B.由B(0，)且ab，则0sin A，0A.【答案】0A【小结】本题主要考查正弦定理，特别注意正弦定理变形的应用解三角形的常见类型和解法：(1)已知两角和一边，首先根据内角和求出第三角，用正弦定理求解有解时，只有一解(2)已知两边和夹角，先用余弦定理求第三边，再应用正弦定理求另两角必有一解(3)已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理求出另两角，再由正弦定理或余弦定理求第三边可有两解、一解或无解
6、(4)已知三边可应用余弦定理求对应的三个角有解时，只有一解考点2三角形中的计算问题在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值【解析】 (1)由正弦定理得.从而2sin Acos Csin B可化为2acos Cb.由余弦定理得2ab.整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化为sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理得4sin
7、Acos C2cos Asin C，因为ABC是斜三角形，所以cos Acos C0，所以.【小结】1.正弦定理是一个连比等式，题设条件中含有比值或者角的正弦形式时，可考虑正弦定理2余弦定理是含a2，b2，c2的等式，题设条件中含有a2，b2，c2或者角的余弦形式时，可考虑余弦定理考点3和三角形面积有关的问题在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tan A，c.(1)求的值；(2)若三角形ABC的面积为，求角C.【解析】(1)由题意知，tan A ，则 ，即有 sin Asin Acos Ccos Asin C，所以 sin Asin Acos Ccos Asin Csins
8、in B，由正弦定理ab，则1.(2)因为三角形ABC的面积为，ab，c，所以 Sabsin Ca2sin C，则 a2sin C ，由余弦定理得，cos C，由得，cos Csin C1，则 2sin1，sin，又0C，则C，即C，解得C.【小结】(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化【能力提升】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsin Bbcos C.(1)求AC的值；(2)若b，求ABC面积的最大值【解析】(1)由正弦定理，得sin As
9、in Csin Bsin Bcos C，又sin Asin (BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以cos Bsin Csin Csin B.又因为C(0，)，所以sin C0，所以cos Bsin B，所以tan B1.又B(0，)，所以B，所以AC.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，所以2a2c2ac，所以2aca2c22ac，当且仅当ac时，等号成立，即ac2，所以SABCacsin Bac，所以ABC面积的最大值为.方 法 总 结【p61】1应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2解题中要灵活使用正
10、弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边3利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)4由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即ABabsin Asin B.5已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理，但要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)6利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角走 进 高 考【p61】1(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 B. C. D2【解析】因为cos C2cos2121，所以AB2BC2AC22BCACcos C12521532，所以AB4，选A.【答案】A2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.【解析】Sabsin Ca2b2c22absin Csin C，cos Csin C，C.【答案】C
