1、第5课时 双曲线的参数方程双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为x2a2y2b2 1(a0，b0)，参数方程为_(为参数)，其中 0,2)且 2，32；xasec，ybtan (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，参数方程为_(为参数)，其中 0,2)且 2，32；(3)中心在点(m，n)的双曲线方程，如：xm2a2yn2b21(a0，b0)的参数方程可表示为_(为参数)，其中 0,2)且 2，32 xbtan，yasec xmasec，ynbtan 1双曲线x2 3sec，y6tan(为参数)的焦点坐标为()A
2、(3，0)B(4 3，0)C(0，3)D(0，4 3)【答案】B【解析】化为普通方程为x212y2361，a2 3，b6，所以c a2b24 3，焦点坐标为(4 3，0)2双曲线xtan，y2sec(为参数)的渐近线方程为()Ay14x By12x Cy4x Dy2x【答案】D【解析】化为普通方程为y24x21，a2，b1，渐近线方程为 yabx2x3双曲线x3 2sec，y2 3tan(为参数)上一点 P 是 4对应的点，则直线 OP 的倾斜角是_【答案】6【解析】x3 2sec46，y2 3tan42 3，kOPyx 33，所以倾斜角为64已知定点A(0,4)和双曲线x24y216上的动点
3、B，点P分有向线段AB的比为13，求点P的轨迹方程【解析】双曲线方程为x216y241，设点 B(4sec，2tan)，P(x，y)，AP(x，y4)，PB(4sec x,2tan y)，由题意PB3AP，得4sec x3x，2tan y3y4，xsec，y312tan，消去参数得普通方程为 x24(y3)21【例 1】将参数方程xetet，y2etet(t 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线？【解题探究】观察方程特点，消去参数t即可得普通方程曲线的多种参数方程【解 析】解 法 一：xetet，y2etetxy22et，xy22etxy2 xy2 4x2y244，即x24y2161.又
4、et0，et0，所以 xetet2所以普通方程为x24y2161(x2)，表示中心在原点，焦点在 x 轴的双曲线的右支解法二：xetet，y2etetx2e2te2t2，y22e2te2t2x2y244x24y2161，又 et0，et0，所以 xetet2所以普通方程为x24y2161(x2)，表示中心在原点，焦点在 x 轴的双曲线的右支曲线的参数方程不是唯一的，本题中的方程也是双曲线的一种参数方程判断是否某种曲线的参数方程，可通过消参化为普通方程判断在消参的过程中要注意变换后x，y的取值范围1将参数方程xt1t，yt1t(t 为参数)化为普通方程，并说明表示什么曲线？【解析】解法一：xt1
5、t，yt1txy2t，xy2t(xy)(xy)4x24y241，所以普通方程为x24y241，表示中心在原点，焦点在 x 轴的双曲线解法二：xt1t，yt1tx2t1t2y2t1t2x2y24x24 y241，所以普通方程为x24y241，表示中心在原点，焦点在 x轴的双曲线【例2】求点A(0,2)到双曲线x2y21的最小距离【解题探究】可设双曲线的参数方程形式，将距离用三角形式表示出来，则只含有参数一个变量双曲线的最值问题【解析】双曲线的参数方程为xsec，ytan 02，2，32，设双曲线上任一点 P(sec，tan)，则|AP|2sec2(tan 2)21tan2tan24tan 42t
6、an24tan 52(tan 1)23，当 tan 1 时，|AP|2 最小值为 3，即|AP|min 3.此时点 P坐标为(2，1)或(2，1)圆、椭圆、双曲线的参数方程实际上都是三角代换，所以经常在求和最值有关的问题时，将其方程转化为参数方程形式2已知 M(x，y)在参数方程x2sec，ytan(为参数)上，求M 到 N(3,0)的距离的最小值【解析】M 在双曲线x2sec，ytan 上，M 到 N(3，0)的距离为|MN|，则|MN|2(2sec 3)2tan2812cos 5cos 2，设1cos t，则 t1 或 t1.f(t)5t212t85t65245，当 t65时，f(t)取得
7、最小值45，|MN|的最小值为2 55【例 3】已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的动弦 BC 平行于虚轴，M，N 是双曲线的左、右顶点求直线 MB，CN 的交点 P 的轨迹方程【解题探究】设出点B，C的参数坐标形式，则可用一个参数表示出直线MB，CN的方程，消去参数，即可得点P的轨迹方程双曲线的轨迹问题【解析】由题可知 M(a,0)，N(a,0)，设点 B(asec，btan )，则点 C(asec ，btan )，直线 MB 的方程为 y btan aasec(xa)，直线 CN 的方程为 y btan aasec(xa)则交点 P 满足y btan aasec xa，y btan
8、 aasec xa，将两式相乘得 y2b2tan2a2a2sec2(x2a2)b2a2(x2a2)，即a2y2b2(x2a2)，得点 P 的轨迹方程为x2a2y2b21 求相关动点的轨迹方程时，可先把曲线用参数方程表示，将已知动点用参数形式表示，从而将所求动点也用参数表示，消去参数即可得所求的轨迹方程本题体现了用双曲线的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程有时使问题变得更简洁3直线 AB 过双曲线x2a2y2b21 的中心 O，与双曲线交于 A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点求证：直线 PA，PB 的斜率的乘积为定值双曲线的参数方程为xacos，ybtan(为参数)如图所示，设 Pacos，btan ，Aacos，btan AB 过原点 O，A，B 的坐标关于原点对称，于是有 B acos，btan ，从而kPAkPBbtan tan a1cos 1cos btan tan a1cos 1cos b2tan2tan2a21cos21cos2b2a2为定值1sec2tan212在利用xasec，ybtan(为参数)研究双曲线问题时，双曲线上的点的坐标可记作(asec，btan)点击进入WORD链接
