1、第二讲椭圆、双曲线、抛物线素能演练提升十三SUNENG YANLIAN TISHENG SHISAN掌握核心,赢在课堂1.(2014天津高考,理5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1解析:由于双曲线焦点在x轴上,且其中一个焦点在直线y=2x+10上,所以c=5.又因为一条渐近线与l平行,因此ba=2,可解得a2=5,b2=20,故双曲线方程为x25-y220=1,故选A.答案:A2.
2、(2014吉林长春调研,4)抛物线x2=12y的焦点F到准线l的距离是()A.2B.1C.12D.14解析:由抛物线标准方程x2=2py(p0)中p的几何意义知抛物线的焦点到准线的距离为p,可知所求距离为14,故选D.答案:D3.(2014云南昆明第一次摸底调研,6)已知斜率为2的直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于A,B两点,若点P(2,1)是AB的中点,则C的离心率等于()A.22B.2C.3D.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2=(y1+y2
3、)(y1-y2)b2,y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2),2=b2a221,a=b.故双曲线是等轴双曲线,则离心率为2.答案:D4.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12,右焦点为F(c,0),方程ax2+2bx+c=0的两个实数根分别是x1和x2,则点P(x1,x2)到原点的距离为()A.2B.72C.2D.74解析:因为e=ca=12,所以a=2c.由a2=b2+c2,得b2=3c2,即b=3c.所以ba=32.因为x1+x2=-2ba=-3,x1x2=ca=12,点P(x1,x2)到原点(0,0)的距离d=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x
4、2=2.答案:A5.设F1,F2是双曲线x2-y224=1的焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于()A.42B.83C.24D.48解析:由已知|PF1|=43|PF2|,代入到|PF1|-|PF2|=2中得|PF2|=6,故|PF1|=8,又双曲线的焦距为|F1F2|=10,所以PF1F2为直角三角形,所求的面积为1286=24.答案:C6.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,11)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆x2+y2=14a2的切线,切点为E,直线EF交双曲线右支于点P,若OE=12(OF+OP),则双曲线的离心率
5、是()A.10B.22C.2D.102解析:设双曲线的右焦点为F1,连接PF1.由OE=12(OF+OP)知,E是FP的中点.又O是FF1的中点,OEPF1,且|OE|=12|PF1|,易知OEFP,PF1FP,|PF|2+|PF1|2=|FF1|2,|PF1|=a,|PF|=2a+|PF1|=3a,9a2+a2=(2c)2,ca=102,选D.答案:D7.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.解析:由椭圆定义|PM|+|PF1|=|PM|+25-|PF2|,而|PM|-|PF2|MF2|=5,所以
6、|PM|+|PF1|25+5=15.答案:158.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.解析:抛物线的准线方程为y=-p2,设A,B的横坐标分别为xA,xB,则|xA|2=|xB|2=3+p24,所以|AB|=|2xA|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32|AB|,即p2=3443+p42,所以p=6.答案:69.(2014山西四校第二次联考,20)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若AM
7、=2MB,求直线l的方程.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为c=1,ca=12,所以a=2,b=3,所以椭圆方程为x24+y23=1.(2)由题得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,则由y=kx+1,x24+y23=1得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由AM=2MB得x1=-2x2,又x1+x2=-8k3+4k2,x1x2=-83+4k2,所以-x2=-8k3+4k2,-2x22=-83+4k2,消去x2,得8k3+4k22=43+4k2,解得k2=14,k=12,所以直线l的方程为y=12x+1,即x-2
8、y+2=0或x+2y-2=0.10.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,20)已知圆M:(x+3a)2+y2=16a2(a0)及定点N(3a,0),点P是圆M上的动点,点G在MP上,且满足|GP|=|GN|,G点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点A(1,0)关于直线x+y-t=0(t0)的对称点在曲线C上,求a的取值范围.解:(1)设G(x,y),|PG|+|GM|=4a,且|PG|=|GN|,|GM|+|GN|=4a23a,由椭圆定义得,曲线C的方程为x24a2+y2a2=1.(2)设A(1,0)关于直线x+y-t=0(t0)的对称点为A(m,n),则nm-1(-1)=-1,
9、m+12+n2-t=0,m=t,n=t-1.A(t,t-1).A(t,t-1)在曲线C:x24a2+y2a2=1上,t2+4(t-1)2=4a2,化简得5t2-8t+4-4a2=0(t0),此方程有正根,令f(t)=5t2-8t+4-4a2,其图象的对称轴为t=450,=(-8)2-45(4-4a2)0,a55或a-55.a0,a55.11.在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为12的直线l1,l2,当直线l1,l2都与圆C相切时,求点P的坐标.解:(1)由
10、x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0).从而可设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),其焦距为2c.由题设知c=2,e=ca=12,所以a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆E的方程为x216+y212=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=12.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切得|2k1+y0-k1x0|k12+1=2,即(2-x0)2-2k12+2(2-x0)y0k1+y02-2=0.同理可得(2-x0)2-2k22+2(2-x0)y0k2+y02-2=0.从而k1,k2是方程(2-x0)2-2k2+2(2-x0)y0k+y02-2=0的两个实根.于是(2-x0)2-20,=8(2-x0)2+y02-20,且k1k2=y02-2(2-x0)2-2=12.由x0216+y0212=1,y02-2(2-x0)2-2=12,得5x02-8x0-36=0,解得x0=-2或x0=185.由x0=-2得y0=3;由x0=185得y0=575,它们均满足式,故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或185,575或185,-575.
