1、第三讲 函数性质高考在考什么【考题回放】1 设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则有（B）2 设是奇函数，则使的的取值范围是（A）3定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）A0B1C3D54 对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）5 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0是的极大值，也是的极大值 B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是
2、的极值 D0是的极小值，但不是的极值6若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 高考要考什么一、 单调性：1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，（2）当x1x2时，（3）都有f（x1）f（x2）或都有f（x1）f（x2），那么就说（4）f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.要注意定义引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）如：是定义在上的递减区间，且0x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根， x1+x2=a， 从而|x1x2|=.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1
3、|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+tm20对任意t1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m0时， m0， m0， 或 g(1)=m2m20 g(1)=m2+m20 m2或m2.所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或m2. 【点晴】利用导
4、数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.变式：设函数，其中（1）解不等式（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。解：（1）不等式即为当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为（2）在上任取，则所以要使在递减即，只要即故当时，在区间上是单调减函数。【范例3】已知函数的定义域为，且同时满足：；恒成立；若，则有（1）试求函数的最大值和最小值；（2）试比较与的大小N）；（3）某人发现：当x=(nN)时，有f(x)2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由解: (1)设0x1x21,则必存在实数
5、t(0,1),使得x2=x1+t, 由条件得,f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2, f(x2)-f(x1)f(t)-2, 由条件得, f(x2)-f(x1)0, 故当0x1时,有f(0)f(x)f(1). 又在条件中,令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2, 故函数f(x)的最大值为3,最小值为2. (2)解:在条件中,令x1=x2=,得f()2f()-2,即f()-2f()-2, 故当nN*时，有f()-2f()-2f()-2f()-2=, 即f()+2. 又f()=f(1)=32+, 所以对一切nN,都有f()+2. (3)对一切x(0,1,都有. 对任意满足x(0,1，总存在n(nN),使得 2+2=+2,故有.综上所述，对任意x(0,1,恒成立.
