1、第2讲 常用的逻辑用语 【学习目标】1理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系2理解充分条件、必要条件与充要条件的意义3了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义4理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定A【基础检测】1命题“若 p 则 q”的逆命题是()A若 q 则 pB若綈 p 则綈 qC若綈 q 则綈 pD若 p 则綈 q【解析】利用原命题与逆命题间的关系进行转化 命题：“若 p 则 q”的逆命题是“若 q 则 p”2下列命题中的假命题是()AxR，2x10BxN*，(x1)20CxR，lg x0 恒成立
2、，A 为真命题；B 中 x1 时，(x1)20，故 B 为假命题；lg x1 即 lg xlg 100 x3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】(1)由四种命题的关系，真假命题成对出现，排除 A、C，a3a6，故原命题及其逆否命题为真命题；又 a6/a3，故逆命题及其否命题为假命题，故选 B.B(2)“若 a12，则x0，都有 f(x)0 成立”的逆否命题是()A若x00，使 f(x0)0 成立，则 a12B若x00，使 f(x0)0 成立，则 a12C若x00，都有 f(x)0 成立，则 a12D若x00，有 f(x0)0 成立，则
3、 a0.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p綈 q”是假命题；命题“(綈 p)q”是真命题；命题“(綈 p)(綈 q)是假命题”其中正确的是()A BC DB【解析】(3)由三角函数有界性知 sin x1，又 52 42 1，故 p 为假命题；对 yx2x1 而言，12410，故 q 为真命题，则错误，正确【点评】(1)要注意区分“命题的否定(即非命题)”与“否命题”，它们是两个不同的概念(2)判断含有逻辑联结词的命题的真假，主要是把其中单个命题的真假判断清楚，在此基础上再根据含有逻辑联结词的命题真假判断的准则进行二、充分条件与必要条件例2给定两个命题 p，q，若綈 p 是 q 的必要
4、而不充分条件，则 p 是綈 q 的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A【解析】本题考查命题的非、四种命题关系、充分必要条件等 綈 p 是 q 的必要而不充分条件，q綈 p，綈 pq，p綈 q，綈 qp，故选 A.【点评】判断 p 是 q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 p 能否推得条件 q；二是由条件 q能否推得条件 p.例3设函数 f(x)xa ax，其中 a 为常数若函数 f(x)存在最小值的充要条件是 aA，则：(1)集合 A_；(2)当 aA 时，函数 f(x)的最小值为_1，1a2【解析】(1)当 xa 时，f(x)(1a)xa；当
5、 xa时，f(x)a(1a)x.要使 f(x)有最小值，需满足 1a0 且(1a)0，即1a1 时，f(x)存在最小值(2)当 xa 时，f(x)取得最小值a2.三、全称命题、特称命题例4(1)命题 P：“a，bR，ab0”的否定为()Aa，bR，a0 或 b0Ba，bR，a0 且 b0Ca，bR，a0 或 b0Da，bR，a0 且 b0C【解析】(1)特命称题 p：xM，p(x)的否定为全称命题綈 p：xM，綈 p(x)原命题为真命题，则其否定为假命题，也可以作为判定命题的否定的依据之一(2)已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：xR，x31x2，则下列命题中为真命题的是()ApqB綈 p
6、qCp綈 qD綈 p綈 qB【解析】(2)本题考查由“且”构成的复合命题的真假由函数 y2x 与 y3x 的图象可判断，当 x3x，p 为假，綈 p 为真；由函数 yx3 与 y1x2的图象可判断 q 为真命题，綈 pq 为真命题，选B.由“”联结构成的复合命题，必须两个命题均为真，复合命题才为真【点评】(1)全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词(特称命题的否定是将存在量词改为全称量词)，并将结论否定；而命题的否定是直接否定结论即可(2)“綈 p”形式常用否定词语：正面词语大于()是都是所有的任意一个至少一个反面词语不大于()不是不都是至
7、少一个不某个不一个也没有(3)对于特称命题的判断，只要能找到满足要求的元素，使命题成立对于全称命题的判断，必须对任一元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立四、综合应用例5(1)定义“正对数”：lnx0，0 x1，ln x，x1.现有四个命题：若 a0，b0，则 ln(ab)blna；若 a0，b0，则 ln(ab)lnalnb；若 a0，b0，则 lnab lnalnb；若 a0，b0，则 ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有(写出所有真命题的编号)【解析】(1)对于：当 0a0 时，0ab0 时，ln(ab)blna0；当 a1，b0 时，a
8、b1，这时 ln(ab)ln(ab)bln ablna.综上可知正确 对于：若 a2，b12，则 ln(ab)ln10，而 lnalnbln2ln12 ln2ln 20.故不成立 对于：当 ab0 时，ab1，故 lnab lnabln aln b容易证明当 ab1，a1b0，0ba0 时，lnab ln10，lnalnb0，故成立 当 ba0 时，0ab1，故 lnab 0，lnalnb0，故 lnab lnalnb.综上可知正确 对于：当 01 时，若 a，b 有一个大于 1，另一个小于 1，不妨设 a1，0bln(ab)，故 ln(ab)lnalnbln 2 成立 若 0a1，0b1，则
9、 ln(ab)ln(ab)；lnalnbln 2ln 2.又 0ab2，ln(ab)ln 2，故 ln(ab)lnalnbln 2.若 a，b 都大于 1，则 ln(ab)ln(ab)；lnalnbln 2ln aln bln 2ln(2ab)又当 a，b 都大于 1 时，ab2abaabbaba(1b)b(1a)0，即 ab2ab，ln(ab)ln(2ab)，故 ln(ab)lnalnbln 2 成立 因此正确的命题为.(2)设命题 p：2x23x10；命题 q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是()A(，0 B.，12C.0，12D
10、.12，C【解析】(2)方法一：由 2x23x10，得12x1，则 p：12x1；由 x2(2a1)xa(a1)0，得 q：axa1.綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，p 是 q 的充分不必要条件，则有a12a11，解得0a12.方法二：由 2x23x10，得12x1，由题意知方程 x2(2a1)xa(a1)0 的两根 x1，x2(设x1x2)满足：x112且 x21.令 f(x)x2(2a1)xa(a1)，只须f12 0f（1）0，解得 0a12.【点评】解答本题的关键是将问题等价转化，即将命题：若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件转化为等价命题即逆否命题为：p 是 q 的充分不必要条件其
11、次是注意数形结合，利用数轴列出关于 a 的不等式组和写出关于 a 的不等式组的解集 备选题例6求关于 x 的方程 ax2(a2a1)xa10 至少有一个正根的充要条件【解析】方法一：若 a0，则方程变为x10，x1 满足条件，若 a0，则方程至少有一个正根等价于 a1a 0或a2a1a0，a1a 0，（a2a1）24a（a1）0 1a0.综上，方程至少有一正根的充要条件是 a1.方法二：若 a0，则方程即为x10，x1 满足条件；若 a0，(a2a1)24a(a1)(a2a)22(a2a)14a(a1)(a2a)22a(a1)1(a2a1)20，方程一定有两个实根 故而当方程没有正根时，应有
12、a2a1a0，a1a 0，解得 a1，方程至少有一正根时应满足 a1 且 a0，综上，方程有一正根的充要条件是 a1.1逻辑中“或”、“且”、“非”的含义与集合中“并”、“交”、“补”的含义非常类似，在一定条件下可相互转化2判定复合命题真假的办法是：首先判定简单命题的真假，再判定复合命题的真假3否命题与命题的否定是两个不同的概念，要会区别，另外要掌握一些常见词的否定词4充要条件的判定(1)定义法定义法是判断充要条件最根本最适用的方法步骤如下：分清条件与结论(p 与 q)；找推式：即判断 pq 及 qp 的真假；下结论：p 是 q 的充分不必要条件，p 是 q 的必要不充分条件，p 是q 的充要
13、条件，p 是 q 的既不充分也不必要条件(2)集合法适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况pqpqpqpqpqpqpqpqPp，Qq，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：若 PQ，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 PQ，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；若 PQ，则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件)；若 PQ 且 QP，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件(3)等价法适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判
14、断常用的是逆否等价法綈 q 是綈 p 的充分不必要条件p 是 q 的充分不必要条件；綈 q 是綈 p 的必要不充分条件p 是 q 的必要不充分条件；綈 q 是綈 p 的充要条件p 是 q 的充要条件；綈 q 是綈 p 的既不充分条件也不必要条件p是 q 的既不充分也不必要条件5对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性6要判断一个全称命题的真假，必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x，验证 P(x)是否成立；要判断一个特称命题的真假，只要能举出集
15、合 M 中的某一个元素 x0，验证 P(x0)是否成立7注意一个全称命题的否定是特称命题，如命题“xM，P(x)成立”的否定“x0M，P(x0)不成立”；特称命题的否定是全称命题，如命题“x0M，P(x0)成立”的否定“xM，P(x)不成立”D1(2014 北京)设 a，b 是实数，则“ab”是“a2b2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】根据充要条件的定义，举特例说明 设 a1，b2，则有 ab，但 a2b a2b2；设 a2，b1，显然 a2b2，但 ab2 ab.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件2(2014 江西)下列叙述
16、中正确的是()A若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0”B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20”Dl 是一条直线，是两个不同的平面，若 l，l，则 D【解析】根据原命题和逆命题的真假来判定充要条件 由于“若 b24ac0，则 ax2bxc0”是假命题，所以“ax2bxc0”的充分条件不是“b24ac0”，A 错；ab2cb2，且 b20，ac.而 ac时，若 b20，则 ab2cb2 不成立，由此知“ab2cb2”是“ac”的充分不必要条件，B 错；“对任意 xR，有 x20”的否定
17、是“存在 xR，有 x20”，C 错；由 l，l，可得，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确3(2014 陕西)原命题为“若anan12an，nN，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假【解析】写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并利用原命题与其逆否命题等价进行判断 anan12anan1b”成立的充分不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2 Da3b3【解析】要求 ab 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出 ab，而由 ab 推不出选项在选项 A 中，ab1 能使 ab 成
18、立，而 ab 时 ab1 不一定成立，故 A 正确A3命题“21”是()A“若 p，则 q”形式的命题B“pq”形式的命题C“pq”形式的命题D“綈 p”形式的命题【解析】“21”表示“21 或 21”为真命题C4已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：任意实数的绝对值都是正数则下列命题中为真命题的是()A(綈 p)qBpqC(綈 p)(綈 q)D(綈 p)(綈 q)D5下列有关命题的说法正确的是()A命题“若 xy0，则 x0”的否命题为“若xy0，则 x0”B“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为真命题C命题“若 a2b20，则 a，b 全为 0”的否定是“若 a2b20，则
19、 a，b 全不为 0”D命题“若 cos xcos y，则 xy”的逆否命题为真命题B【解析】命题“若 xy0，则 x0”的否命题为“若 xy0，则 x0”，所以 A 错；命题“a2b20，则 a，b 全为 0”的否定是“若 a2b20，则 a，b 不全为 0”，所以 C 错；命题“若 cos xcos y，则 xy”为假命题，故其逆否命题也假，故 D 错；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 xy0”，这显然正确，故选 B.6对于实数 x、y，p：(x2)2(y6)20，q：(x2)(y6)0；则 p 是 q 的(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件
20、”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)必要不充分条件【解析】綈 p：(x2)2(y6)20，即綈 p：x2 且 y6；綈 q：(x2)(y6)0，即 x2 或 y6；因为綈 p綈 q 且綈 q 綈 p，故綈 p 是綈 q的充分不必要条件，即 p 是 q 的必要不充分条件7已知 p：2x23x10，q：(xa)(xa1)0，若 p 是綈 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是0，12【解析】因为 p：2x23x11，故(2x1)(x1)0，故 p：12x1；因为 q：xa1，故綈 q：axa1.由 p 是綈 q 的充分不必要条件知：a12，a11，解得0a12，即实数 a
21、 的取值范围是0，12.8下列不等式：x1；0 x1；1x0；1x1.其中，可以为x1x10 的一个充分不必要条件的不等式的所有序号为【解析】设条件 p 所对应的集合为 A，结论 q 所对应的集合为 B，因为 p 是 q 的充分不必要条件，故AB，因为 Bxx1x10 x|1x1，故满足 AB 的不等式有.9已知命题 p：方程 a2x2ax20 在1，1上有解；命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x22ax2a0，若命题“p 或 q”是假命题，求 a 的取值范围【分析】先将 p，q 化简，由“p 或 q”为真命题时推出 a 的取值范围，而“p 或 q”是假命题为其反面情况，进而求解【解析】由 a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0，显然 a0，所以 x2a或 x1a.因为 x1，1，故2a 1 或1a 1，所以|a|1，又“只有一个实数满足 x22ax2a0”即抛物线 yx22ax2a 与 x 轴只有一个交点，所以 4a28a0，所以 a0 或 a2，所以命题“p 或 q”为真命题时，|a|1 或 a0，因为命题“p 或 q”是假命题，所以 a 的取值范围为a|1a0 或 0a1
