1、第7章 计数原理7.3 组合7.3.1 组合与组合数公式7.3.2 组合数的性质和应用 第1课时 组合与组合数公式及其性质学习目标重点难点1.使学生正确理解组合与组合数的概念2使学生会类比排列数公式推导组合数公式3让学生了解组合数的两个性质，并会利用公式进行求值、化简.1.重点是组合的定义、组合数公式的应用2难点是组合数公式的推导.一、阅读教材：P18P20的有关内容，完成下列问题1组合的概念从 n 个 不 同 的 元 素 中 取 出 m(mn)个 不 同 的 元 素，_地构成一组，称为一个组合不论次序(1)从a，b，c，d中选取2个，ab与ba是同一个组合吗？(2)组合与排列的异同点分别是什
2、么？提示：(1)是组合与顺序无关(2)共同点：都是“从n个不同元素中取出m(mn)个元素”；不同点：组合“合成一组”，而排列是要“按照一定顺序排成一列”.二、阅读教材：P20P21的有关内容，完成下列问题2组合数1若 A3m6C4m，则 m 等于()A6 B7 C8 D9解析：由题意，得 m(m1)(m2)6mm1m2m34321，解得 m7.答案：B三、阅读教材：P21P23 的有关内容，完成下列问题3组合数的性质(1)CmnCnmn.(2)若 CmnCkn，则_或者_.(3)Cmn1CmnCm1n.mk mnk 2(1)满足方程 Cx2x16C5x516 的 x 值为_(2)C22C23C
3、24C210_.解析：(1)由题意，得 x2x5x5 或 x2x5x516，并且满足0 x2x16，05x516，解得 x1 或 3.(2)C22C23C24C210C33C23 C24C210 C34C24 C210C311165.答案：(1)1 或 3(2)165组合及组合数的概念判断下列问题是排列问题，还是组合问题并求出相应的排列数或组合数(1)从1,2,3，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选2名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？
4、(4)5个人规定相互通电话一次，共通了多少次电话？(5)若已知集合1,2,3,4,5,6,7，则该集合的子集中有3个元素的有多少？解：(1)当取出 3 个数字后，如果改变 3 个数字的顺序，会得到不同的三位数此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题排列数为 A39504.(2)取出 3 个数字之后，无论怎样改变这 3 个数字的顺序，其和均不变此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题组合数为 C3984.(3)2 名学生完成的是同一份工作，没有顺序区别，是组合问题组合数为 C246.(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题组合
5、数为 C2510.(5)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题组合数为 C3735.【点评】区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题1给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(3)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(
6、4)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，_是组合问题，_是排列问题(填序号)解析：(1)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序区别，是组合问题(2)冠亚军是有顺序的，是排列问题(3)命中的4枪均为2枪连中，没有顺序区别，是组合问题(4)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序区别，是排列问题答案：(1)(3)(2)(4)有关组合数的计算与证明求值：(1)C410C37A33；(2)C98100C199200；(3)C38n3nC3n21n.解：(1)原式C410A37109874321 7652102100.(2)C9
7、8100C199200C2100C12001009922004 9502005 150.(3)38n3n，3n21n，9.5n10.5.nN，n10.C38n3nC3n21nC2830C3031C230C131302921 31466.互动探究 若把例 2 变为证明 C0nC1n1C2n2Cm1nm1Cm1nm，如何证明？证明：左边(C0n1C1n1)C2n2C3n3Cm1nm1(C1n2C2n2)C3n3Cm1nm1(C2n3C3n3)Cm1nm1C3n4C4n4Cm1nm1Cm2nm1Cm1nm1Cm1nm右边原式成立【点评】(1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组
8、合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明2(1)求值：C5nnC9nn1；(2)求证：Cmnm1nmCm1n.(1)解：由题意知，5nn，5n0，9nn1，9n0，解得 4n5.又因为 nN，所以 n4 或 n5.当 n4 时，原式C14C555，当 n5 时，原式C05C4616.(2)证明：因为 Cmnn！m！nm！，m1nmCm1nm1m1！n！nmnm1！n！m！nm！，所以 Cmnm1nmCm1n.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选
9、派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员简单的组合应用题解：(1)第一步，选 3 名男运动员，有 C36种选法；第二步，选 2 名女运动员，有 C24种选法故共有 C36C24120 种选法(2)方法一(直接法)“至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况，1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男由分类加法计数原理知，共有 C14C46C24C36C34C26C44C16246 种选法方法二(间接法)不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有 C56种，故“至少有 1名女运动
10、员”的选法有 C510C56246 种(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有 C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有 C48种选法，其中不含女运动员的选法有 C45种，故不选女队长时共有 C48C45种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有 C49C48C45191 种【点评】(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏3某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种
11、债券问此人有多少种不同的投资方式？解：可分为两步第一步，从 12 种股票中选 8 种股票有 C812种选法；第二步，从 7 种债券中选 4 种债券，有 C47种选法故共有 C812C474953517 325 种投资方式1“组合”与“组合数”是两个不同的概念组合是m个元素形成的一个整体，不是数；组合数是形成的不同组合的个数，是数量2求解有关组合数的计算、证明、解方程或不等式问题时，一是要注意组合数本身有意义的未知数的取值范围；二是掌握组合数性质在计算 Cmn时，若 mn2，通常使用 CmnCnmn转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用Cmn1CmnCm1n.点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(五)谢谢观看！
