1、基础达标检测一、选择题1用数学归纳法证明不等式1(nN)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10答案B解析由Sn得n7，又nN，所以n8.2记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_()A.BC.D2答案B解析由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).3对于不等式n1(nN)，某人的证明过程如下：1当n1时，11，不等式成立. 2假设nk(kN)时不等式成立，即k1，则nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立. 上述证法()A过程全都正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析本题的证明中，从nk到
2、nk1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题4下列代数式(其中kN)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN都成立5用数学归纳法证明“12n(n1)21n2(nN)”，从nk到nk1时，左边添加的代数式为()Ak1 Bk2Ck1k D2(k1)答案C解析在由nk到nk1时，左边式子为123kk1k21，因此，左边添加的式子为k1k.
3、6用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可二、填空题7在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_答案an解析a1，a2，a3，a4，an.8用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN)命题为真时，进而需
4、证n_时，命题亦真答案2k1解析n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立9用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)时，从k到k1，左边需要增加的代数式为_答案2(2k1)解析当nk时左边的最后一项是2k，nk1时左边的最后一项是2k2，而左边各项都是连续的，所以nk1时比nk时左边少了(k1)，而多了(2k1)(2k2)因此增加的代数式是2(2k1)三、解答题10用数学归纳法证明：nN时，.解析(1)当n1时，左边，右边，左边右边等式成立(2)假设nk(k1，kN)时，等式成立 ，即有，则当nk1时，nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，一切nN，
5、等式成立.能力强化训练一、选择题1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.2在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示
6、的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A190 B715 C725 D385答案B解析由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,15,159,15913,1591317，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项an4n3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为2n2n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(1222n2)(12n).当n10时，总数为715.二、填空题3若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)
7、2解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.4(2014青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1，11,1，12，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明解析根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为： 1(nN)用数学归纳法证明如下：(1)当n1时，1，猜想成立；(2)假设当nk时，猜想成立，即1，则当nk1时，1，即当nk1时，猜想也确，由(1)(2)可知对任意的nN，不等式都成立6是否存在常数a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立，若存在，求出a
8、、b、c并证明；若不存在，试说明理由解析假设存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(kN)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN都成立
