1、第 1 页江苏省涟水中学 2019-2020 学年度第一学期高三年级期中考试数学（文科）参考答案一、填空题：1、2,12、13、44、225、56、217、120522 yx8、69、810、2,111、5212、54813、134 314、3,二、解答题：（若学生有其他不同解法且正确，酌情分步得分。）15、解：（1）因为 mn，所以0)3cos(sin)3sin(cos)3cos(BABABAnm，2 分又因为0,2A B，所以5636AB，4 分所以=326ABAB，6 分（2）因为3cosB,0,52B，所以54sinB，8 分所以1033421532354)6sin(sinBA10 分
2、由正弦定理BACABCsinsin得，12 分sin4 33sinABCACB14 分16、证明：（1）因为 BD平面 AEF，BD平面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF，所以 BDEF 3 分因为 BD平面 ABD，EF平面 ABD，所以 EF平面 ABD 6 分（2）因为 AE平面 BCD，CD平面 BCD，所以 AECD 8 分因为 BDCD，BDEF，所以CDEF，10 分又 AEEFE，AE平面 AEF，EF平面 AEF，所以 CD平面 AEF 12 分第 2 页又 CD平面 ACD，所以 平面 AEF平面 ACD 14 分17、解：（1）左焦点的坐标是)0,(cF，上顶点),0
3、(bA，直线 AF 的斜率1 cbk，得cb，因为点 A 是线段 BF 的中点，所以点 B 的坐标是)2,(bcB2 分因为点 B 在直线023 yx上，所以,232 bc得,2 cb所以,42 a4 分所以椭圆的方程为22142xy6 分（2）方法 1：设00()P xy，则直线 MP 的方程为00(2)+2yyxx，所以006(4,)+2yQx所以22000000062(+2)6(+2)(2)+2+2yxyMP NQxyxx，8分由00()P xy，在椭圆上得2200122yx，所以2000820+2xxMP NQx 10 分所以20008209+2xxx，解得01x 或02x （舍），1
4、2 分所以6(1,)2P14 分方法 2：设直线 MP 的方程为(2),(0)yk xk，由22142(2)xyyk x得2222(12)8840kxk xk所以22222148,218kkxxkkxxPMPM8分因为2Mx ，所以222412Pkxk，所以222244(,),1212kkPkk10 分又(4,6)Qk，所以2244(,),(2,6)1212kMPNQkkk，所以22248912kMP NQk，解得216k，故66k，12 分因为点 P 在第一象限，所以66k所以6(1,)2P14 分第 3 页18、解：（1）由条件可得，2cosAD，所以梯形的高sin603coshAD又2c
5、os(60)AB，2cos(120)CD，4 分所以梯形 ABCD 的面积1 2cos(60)2cos(120)3cos2S5 分cos(60)cos(60)3cos(2sin60 sin)3cos3 sin 22（2dm）7 分（2）设四棱柱1111DCBAABCD 的体积为V，因为12cosAAAD，所以123 sin 22cos6sin(1sin)2AVS A9 分设sint，因为 060 ，所以30 2t，所以23()6(1)6()V ttttt，30 2t，由233()6(31)18()()33V tttt，12 分令()0V t，得33t，()V t 与()V t的变化情况列表如下
6、：t30 3，333332，()V t0()V t极大值所以，()V t 在33t 时取得极大值，即为最大值，且最大值34 3()33V 此时sin33 15 分答：当sin33 时，四棱柱1111DCBAABCD 的体积取最大值为 4 333dm 16 分第 4 页19、解：（1）当1a 时，2134ln22f xxxx，其中0 x 故 1314222f 14fxxx，故 11412f 所以函数 f x 在1x 处的切线方程为221yx，即 20 xy4 分（2）由 2114ln22f xxaxaxa，可得 4afxxax由题意可知，不等式2114ln422axaxaxax xax对任意实数
7、1x，恒成立，即22 ln10 xax 对任意实数1x，恒成立，6 分令 22 ln1t xxax，1x 故 2222axatxxxx1 若1a，则 0tx，t x 在1 ，上单调递增，10t xt，故1a 符合题意8 分2 若1a ，令 0tx，得 xa（负舍）当1xa，时，0tx，t x 在1a，上单调递减，故 10tat，与题意矛盾，所以1a 不符题意综上所述，实数 a 的取值范围1a 10 分（3）据题意 21124ln322g xf xaxaxaxa，其中0 x 则 244axaxagxxaxx因为函数 g x 存在两个极值点1x，2x，所以1x，2x是方程240 xaxa的两个不等
8、的正根，故2204400aaaa ，得14a，且12124xxax xa，12 分所以 221211122211114ln34ln32222g xg xxaxaxaxaxaxa2212121214lnln612 xxa xxaxxa第 5 页212121212124ln612xxx xa xxax xa214244ln612aaaaaaa28ln51aaaa ；1212124431aagx xx xaaaax xa ，据 1212g xg xgx x可得，28ln5131aaaaa，即288ln0aaaa，又14a，故不等式可简化为88ln0aa ，14 分令 88lnaaa，14a，则 18
9、40aa，所以 a在 14，上单调递增，又 10，所以不等式88ln0aa 的解为141a 所以实数 a 的取值范围是 141a 16 分20、解：（1）因为kaaa321，211nnnnaaaka,所以41ak，25 ka因为12nnnnaaab所以132bb，kb122；4 分（2）当3n时，121nnnnaaka a，所以211nnnnaakaa，有：122111nnnnnnnnaaaaa aaa，6 分即：121121nnnnnnnnaaaaa aaa，所以2211nnnnnnaaaaaa，即2nnbb，8 分所以212nnbnk ，为奇数，为偶数.10 分（3）假设存在正整数 k，使得数列 na的每一项均为整数由（2）知21221222122N21nnn*nnnaaankaaak，第 6 页因为162Z4Zakakk，所以12k，12 分检验：当1k时，312kk为整数，且123Zaaa，结合，数列 na的每一项均为整数，符合；14 分当2k时变为21221222122N52nnn*nnnaaanaaa消去2121nnaa，得：2222232nnnaaan（），因为24aa，所以数列 na的偶数项均为整数，又因为2122252nnnaaa，所以21na 为偶数，且12a，所以,奇数项均为整数，符合.综上：k 的所有取值为1和 216 分
