1、56级高一学情检测数学试题（时间120分钟，满分150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足(为虚数单位)，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先利用复数除法运算求解，再计算出.【详解】因为，.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的计算，考查了学生的基本运算能力.2.2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲
2、同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果【答案】C【解析】【分析】根据图表依次对所给选项进行判断.【详解】由雷达图可知，甲的物理成绩领先年级平均分约为1.5，化学成绩领先年级平均分约为1，生物成绩约等于年级平均分，历史成绩低于年级平均分，地理成绩领先年级平均分约为1，政治成绩低于年级平均分，故A、B、D正确；而甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物（物理），故C选项错误.故选：C【点睛】
3、本题考查命题真假的判断，涉及到统计中雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.3.已知向量，则（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12【答案】D【解析】【分析】由向量垂直可得，解出k值即可.【详解】向量，故选：D【点睛】本题考查向量的数量积运算及向量垂直的应用，向量垂直则有数量积为0，属于简单题.4.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（ ）A. 0.7B. 0
4、.4C. 0.6D. 0.3【答案】C【解析】【分析】现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，名护士分别记为、，名医生分别记为、，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，名护士记为、，名医生分别记为、，所有的基本事件有：、，共种，其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有： 、，共种，因此，所求事件的概率为.故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.设两个单位向量夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案
5、】B【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的定义可得，再由运算即可得解.【详解】两个单位向量的夹角为，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，考查了利用平面向量数量积求向量模的应用，属于基础题.6.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）A 990B. 1320C. 1430D. 1560【答案】B【解析】【分析】根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值【详解】依题意可得，解得，故选：B【点睛】本题考考查分层
6、抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题7.圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积【详解】圆锥的高和底面半径之比，又圆锥的体积，即，解得；，母线长为，则圆锥的表面积为故选D【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.8.在中，如果，则的面积为（ ）A. 1B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可
7、得，又由余弦定理，得，即，解得，所以，所以的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】ACD【解析】【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底
8、【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.10.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A等于（ ）A. 30B. 45C. 60D. 150【答案】AD【解析】【分析】由已知利用正弦定理化简可得，进而得出结果.【详解】，利用正弦定理的变式得，在三角形ABC中，或.故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题11.已知复数z在复平面上对应的点为，
9、则（ ）A. B. C. D. 是纯虚数【答案】CD【解析】【分析】根据题意得，分别求模、共轭复数、化简即可得到结果.【详解】根据复数z在复平面上对应的点为，则，所以A错；，所以B错；，所以C正确；，所以D正确故选：CD【点睛】本题主要考查复数的基本概念的理解，属于基础题.12.已知四棱台的上下底面均为正方形，其中，则下述正确的是（ ）A. 该四棱台的高为B. C. 该四棱台的表面积为26D. 该四棱台外接球的表面积为【答案】AD【解析】【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断【详解】解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于，可知 与相似比为；则，则，则，该四棱台的高
10、为，对；因为，则与夹角为，不垂直，错；该四棱台的表面积为，错；由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上中，由于，则，即点到点与点的距离相等，则，该四棱台外接球的表面积为，对，故选：AD【点睛】本题考查立体几何中垂直，表面积，外接球的问题，属于难题三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为_.【答案】2【解析】【分析】根据平均数求出x，再求数据的方差.【详解】，解得，该组样本数据的方差为.故答案为：2【点睛】本题考查样本数据的平均值与方差，属于基础题.14.已知矩形的边长为，为边上靠近点的三等分
11、点，则_【答案】7【解析】【分析】根据平面向量线性运算，分别用表示出，再结合平面向量数量积定义即可求解.【详解】根据题意画出几何关系如下图所示：由平面向量线性运算可知，所以故答案为：7.【点睛】本题考查平面向量线性运算，平面向量数量积定义及简单应用，属于基础题.15.如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_m【答案】60【解析】【分析】由已知可以求出、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求
12、出.在中，利用锐角三角函数，求出.【详解】由题意可知：，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，在中，.【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.16.已知球的直径，是该球球面上的两点，则棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】设圆心为，连结，由是球的直径，得到，证明平面，计算体积得到答案.【详解】设圆心为，连结，由是球的直径，得到，平面，棱锥的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.四、解答题：17.已知复数.（1）求z的共轭复数；（2）若，求实数a，b的值.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）
13、根据复数的四则运算法则化简计算z，即可求出；（2）根据复数相等的条件计算即可求值.【详解】（1）（2），即，解得，.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念，复数相等，属于中档题.18.某超市为了解端午节期间粽子的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在端午节期间的粽子购买量（单位：g）进行了问卷调查，得到如图所示的频率分布直方图（）求频率分布直方图中a的值；（）求这1000名消费者的棕子购买量在600g1400g的人数；（）求这1000名消费者的人均粽子购买量（频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】（）a0.001 （）620 （）1208g【解析】
14、【分析】（）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解得值；（）先求出粽子购买量在的频率，由此能求出这1000名消费者的粽子购买量在的人数；（）由频率分布直方图能求出1000名消费者的人均购买粽子购买量【详解】（）由频率分布直方图的性质，可得（0.0002+0.00055+a+0.0005+0.00025）4001，解得a0.001（）粽子购买量在600g1400g频率为：（0.00055+0.001）4000.62，这1000名消费者的棕子购买量在600g1400g的人数为：0.621000620（）由频率分布直方图得这1000名消费者的人均粽子购买量为：（4000.0002+8000.00
15、055+12000.001+16000.0005+20000.00025）4001208g【点睛】本题主要考查了频率、频数、以及频率分布直方图应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.已知，.（1）求与的夹角和的值；（2）设，若与共线，求实数m的值.【答案】（1）与的夹角为，；（2）.【解析】【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.【详解】（1），所以，所以与的夹角为，；（2）由（1）可得：与不共线，若与共线，则必存在使得：，所以，得.【点睛】此题考查向量的数量
16、积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.20.某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖.(1)求中二等奖的概率(2)求不中奖的概率【答案】（1）0.3（2）0.4【解析】试题分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件可以通过列举得到，满足条件的事件从列举出的结果中得到，根据等可能事件的概率公式，得到结果（2）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件
17、在前面一问已经做出，满足条件的事件可以列举出所有的结果，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式，得到结果试题解析：从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有0,1，0,2，0,3，0,4，1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4共10个基本事件记两个小球的编号之和为x(1)记“中二等奖”为事件A由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x5，x6事件x5的取法有2种，即1,4，2,3，故P(x5)；事件x6的取法有1种，即2,4，故P(x6)所以P(A)P(x5)P(x6)(2)记“不中奖”为事件B，则“中奖”为事件，由题意可知，事件包括三个互斥事件：中一等奖(x7)，中二等奖(事件
18、A)，中三等奖(x4)事件x7的取法有1种，即3,4，故P(x7)；事件x4的取法有0,4，1,3，共2种，故P(x4).由(1)可知，P(A)所以P()P(x7)P(x4)P(A)所以不中奖的概率为P(B)1P()121.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD（1）若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【详解】（1）连结PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，PGAD又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD，PGBG又
19、四边形ABCD是菱形且DAB60，BGAD又ADPGG，BG平面PAD（2）由（1）可知BGAD，PGAD所以AD平面PBG，所以ADPB考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质22.已知中，三个内角，所对的边分别是，（1）证明：；（2）在，这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若，_，求的周长【答案】（1）详见解析；（2）选，选，选，的周长皆为20【解析】【分析】（1）根据余弦定理，计算得到证明.（2）分别选择，利用（1）中结论得到，再根据余弦定理得到，得到周长.【详解】（1）根据余弦定理：，所以. （2）选：因为，所以，所以由（1）中所证结论可知，即，因为，所以； 选：因为，所以，由（1）中的证明过程同理可得，所以，即，因为，所以； 选：因为，所以，由（1）中的证明过程同理可得，所以，即，因为，所以 在中，由余弦定理知，即，解得或（舍），所以，即的周长为20【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
