1、第7章 计数原理7.1 两个计数原理7.1.1 分类加法计数原理7.1.2 分步乘法计数原理 第1课时 分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其简单应用学习目标重点难点1结合实例，领悟分类加法计数原理与分步乘法计数原理2结合例题学会利用这两个原理分析和解决一些简单的问题.1重点是归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能利用它们解决简单的实际问题2难点是正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确区分“分类”和“分步”.一、阅读教材：P4P5的有关内容，完成下列问题1分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第
2、n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能完成这件事，那么完成这件事共有N_种不同的方法(简称为分类计数原理，或加法原理)m1m2mn 1分类加法计数原理中各类方案之间有何联系？各类方案中的各种方法呢？提示：分类加法计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事二、阅读教材：P6P10的有关内容，完成下列问题2分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法(简称为分步计数原理，或乘法原理)m1m2mn 2分步乘法计数原
3、理中“各步”中的方法与“完成这件事”有什么关系？提示：要完成这件事，“各步”中的方法必须都依次完成，步与步之间是连续的，且相互依存3两个原理的关系分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有依次完成所有的步骤，才能完成这件事有7本不同的中文书，5本不同的英文书，3本不同的法文书若从中选出2本不属于同一种文字的书，共有_种选法解析：先用分步乘法计数原理，后用分类加法计数原理选中文书、英文书各一
4、本，有7535种选法；选中文书、法文书各一本，有7321种选法；选英文书、法文书各一本，有5315种选法，故共有35211571种不同的选法答案：71分类加法计数原理的应用如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4.若焊接点脱落导致断路，则电路不通现发现电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A16种 B15种C9种D8种解析：按照可能脱落的个数可分成四类第一类，1个焊接点脱落，有4种情况；第二类，2个焊接点脱落，有6种情况；第三类，3个焊接点脱落，有4种情况；第四类，4个焊接点脱落，有1种情况所以共有464115种情况答案：B互动探究 若例1中的图形改成如下图形，结果如何？解：按照可能脱落
5、的个数可分成四类第一类，1个焊接点脱落，有2种情况，即1,4；第二类，2个焊接点脱落，有6种情况，即(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,4)；第 三 类，3 个 焊 接 点 脱 落，有 4 种 情 况，即(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)；第四类，4个焊接点脱落，有1种情况，即(1,2,3,4)所以共有264113种情况【点评】如果完成一件事有n类不同的办法，而且这n类办法是相互独立的，无论用哪一类办法中的哪一种方法都能独立地完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后
6、用分类加法计数原理求和，得到总种数解析：当x2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点；当xy时，x，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点所以这样的点共有7714个答案：141集合 Px,1，Qy,1,2，其中 x，y1,2，9且 P Q，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点的坐标，这样的点有_个分步乘法计数原理的应用(1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？解：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人
7、必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有333381种报名方法(2)要完成的是“三个项目冠军的获得”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有44464种可能的情况【点评】虽然都是4名同学和三个项目，但两问的主体是不一样的，这就可能造成同学们审题上的错误，造成错误的原因在于没有弄清分步的主体在运用分步乘法计数原理解决问题时应首先弄清分步的主体是什么，然后根据主体进行分步，最后根据分步乘法计数原理进行解题2有三个
8、盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，则不同的取法有_种解析：完成这件事可分三步第一步，取红球，有6种不同的取法；第二步，取白球，有5种不同的取法；第三步，取黄球，有4种不同的取法根据分步乘法计数原理，共有654120种不同的取法答案：120某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观博物馆(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？(3)从他们中选出2人管理生活，要求这2人不同班，有多少种不同的选法？两个计数原理的综合应用解：(1)分
9、三类第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共有6种不同的选法由分类加法计数原理可得，共有810624种不同的选法(2)分三步第一步是从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法；第二步是从二班的10名优秀团员中选1名组长，共有10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中选1名组长，共有6种不同的选法由分步乘法计数原理可得，共有8106480种不同的选法(3)分三类，每一类又分两步第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有810种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团
10、员中各选1人，有106种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有86种不同的选法因此，共有81010686188种不同的选法【点评】1.解题的关键是分清楚是“分类”还是“分步”，如(2)中要求每班各选1人为小组长，一班的8种不同选法中的任一种选法只能完成第一步，二班的任一种选法也只能完成第二步所以(2)是要用“分步”来解决问题(3)中选出的2人来自不同的班级，又共有三个班，故应先分类，再分步方可完成2分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复、不遗漏，运用两个原理解答时，是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定3某艺术小组有9人，每人至
11、少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人把选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类第一类，多面手入选，有1人，只需从其他8人中任选一人，故这类选法共有8种；第二类，多面手不入选，则选会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，选会小号者也只能从2个只会小号的人中选出，故这类选法共有6212 种因此共有81220种不同的选法1两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事有n类不同的办法，关键词是“
12、分类”完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，即缺少任何一步都不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事分类加法计数原理分步乘法计数原理区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复2“分类”“分步”应注意(1)分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(一)谢谢观看！
