1、第四章 导数及其应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性第二课时 利用导数研究函数的单调性(2)4.3 导数在研究函数中的应用 学习目标重点难点1.进一步理解导数与函数单调性的关系2.会讨论含参数的函数的单调性3.已知函数的单调性，会求参数的取值范围.1.重点：利用导数研究含参数的函数2.难点：含参数的函数讨论标准的确定.1求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域区间(2)求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根(3)把函数f(x)的间断点即函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域
2、分成若干个小区间(4)由f(x)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的单调性2利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调区间时，必须确定使导数等于零的点，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点(3)注意在某一区间内f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0是函数递增(或递减)的充分条件，但这个条件并不是必要的如：yx3在实数集内是严格增函数，但f(0)0.在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要
3、条件是f(x)0或f(x)0，在x(a，b)时恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)0，只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)的条件下求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定思路点拨 利用导数研究函数单调性，利用单调性比较大小利用导数比较大小或解不等式已知
4、函数f(x)xln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)0，12 x0，1x0.f(x)0.f(x)在(0，)内单调递增2e3，f(2)f(e)f(3)1f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(x)的导函数存在，且 fxfxx，则下列不等式成立的是()Af(2)2f(1)B3f(3)4f(4)C2f(3)3f(4)D3f(2)0在(0，)上恒成立 fxfx0.设g(x)fxx，则g(x)xfxfxx20.答案：Dg(x)在(0，)上递增故g(3)g(2)，即f33 f22.即2f(3)3f(2)故选D.已知函数单调性
5、，求参数的取值范围，是一种非常重要的题型在某个区间上，f(x)0(f(x)0(f(x)0)是不够的，即f(x)0(f(x)0)也有可能使得f(x)在这个区间上是增加(减少)的因此，对于是否可以取到等号的问题需要单独验证已知函数单调性，求参数的范围已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(1,1)上单调递减若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由思路点拨 解：(1)f(x)3x2a，由3x2a0在R上恒成立，即a3x2在R上恒成立易知当a0时，f(x)x3ax1在R上是增函数a0.(2)存在由题意知3x2a0在(1
6、,1)上恒成立，即a3x2.当x(1,1)时，03x21，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意，应有4a16.解得5a7.设a0，讨论函数f(x)ln xa(1a)x22(1a)x的单调性思路点拨 求f(x)，判断f(x)的符号，注意对a的分类讨论讨论含参数函数的单调性解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a1ax221ax1x，当a1时，方程2a(1a)x22(1a)x10的判断式12(a1)a13.当0a0，f(x)有2个零点：x1 12a a13a12a1a0，x2 12a a13a12a1a0.当0 xx2时，f(x
7、)0，f(x)在(0，x1)与(x2，)内为增函数；当x1xx2时，f(x)0，f(x)在(x1，x2)内为减函数当13a0(x0)，f(x)在(0，)内为增函数当 a1 时，0，x1 12a a13a12a1a0，x2 12a a13a12a1a0，故 f(x)在定义域内有唯一零点 x1，且当 0 x0，f(x)在(0，x1)内为增函数，当 xx1 时，f(x)0，f(x)在(x1，)内为减函数综上所述，f(x)的单调性如下表：0a1(0，x1)(x1，x2)(x2，)(0，)(0，x1)(x1，)其中x1 12a a13a12a1a，x2 12a a13a12a1a.(2017全国卷)已知
8、函数f(x)ae2x(a2)exx.讨论函数f(x)的单调性解：f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)若a0，则f(x)0.f(x)在(，)单调递减若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增【点评】讨论含参数函数的单调性，关键是认准分类讨论的标准3讨论函数f(x)2axa21x21(a0)的单调性解：f(x)2ax212x2axa21x2122xaax1x212.由于a0，故分两种情况讨论：当a0时，令f(x)0，得x11a，x
9、2a.当f(x)0，即1axa时，函数f(x)2axa21x21单调递增；当f(x)0，即xa时，函数f(x)2axa21x21单调递减f(x)2axa21x21的单调递减区间为，1a，(a，)，单调递增区间为1a，a.当a0，即x1a时，函数f(x)2axa21x21单调递增；当f(x)0，即ax1a时，函数f(x)2axa21x21单调递减f(x)2axa21x21的单调递增区间为(，a)，1a，单调递减区间为a，1a.4(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.讨论f(x)的单调性解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x2ax2a1x12ax1x.若a0，则当
10、x(0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x0，12a 时，f(x)0；当x 12a，时，f(x)0.故f(x)在0，12a 上单调递增，在 12a，上单调递减1利用导数比较大小关键是构造函数，应用导数研究该函数的单调性2讨论含参数函数的单调性，关键是对参数分类标准的确定3由导数求函数的单调区间，它与已知区间是包含关系，解题时应把握并应用好这种关系，还要注意以下几点：(1)若f(x)在某区间上是增(或减)函数，则在这个区间上f(x)0或f(x)0恒成立；(2)由关于x的不等式恒成立求参数的取值范围时，要根据不等式的具体特点选择合适的求解方法；(3)要对参数取值范围中的端点值进行检验，看是否符合题意点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(七)谢谢观看！
