1、2015年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）一、选择题，本大题10小题，每小题5分，共50分1设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A1iB1+iC1+iD1i2设a，bR，那么“1”是“ab0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3随机变量x1N（2，1），x2N（4，1），若P（x13）=P（x2a），则a=（）A1B2C3D44已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n5极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：=1与曲线C2：=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（）A
2、1BCD26二项式（x2）6的展开式中不含x3项的系数之和为（）A20B24C30D367函数f（x）=有且只有一个零点时，a的取值范围是（）Aa0B0aCa1Da0或a18单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（）A该几何体体积为B该几何体体积可能为C该几何体表面积应为+D该几何体唯一9已知x，yR，且，则存在R，使得xcos+ysin+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A4B4CD +10已知函数f（x）=2x+cosx，设x1，x2（0，）（x1x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f（x）是f（x）的导函数，则（）Af
3、（x0）0Bf（x0）=0Cf（x0）0Df（x0）的符号无法确定二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分11设m是实数，若xR时，不等式|xm|x1|1恒成立，则m的取值范围是12已知一个算法，其流程如图，则输出结果是13抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为14平面向量，满足|2|=1，|2|=1，则的取值范围15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC；若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45；tanA+tanB+tanC的
4、最小值为3；当tanB1=时，则sin2CsinAsinB；若x表示不超过x的最大整数，则满足tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanC的A，B，C仅有一组三、解答题，本大题共6小题，共75分16已知函数f（x）=sin（x+）（0，02）一个周期内的一系列对应值如表：x0y101（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间17已知P（m，n）是函授f（x）=ex1图象上任一于点（）若点P关于直线y=x1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数y=h（x）
5、图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数（s，t）=|sex11|+|tln（t1）|，（sR，t0）的最小值18已知梯形ABCD中，ABCD，B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体（）求几何体的表面积（）判断在圆A上是否存在点M，使二面角MBCD的大小为45，且CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由19如图，已知椭圆C： +y2=1，点B坐标为（0，1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上（）求直线AB的方程（）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：
6、OMON为定值20中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0p1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率（）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P（列代数式表示）（）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率21已知数列an满足a1=，an+1=an+，数列bn满足bn=（）证明：bn（0，1）（）证明： =（）证明：对任意正整数n有an2015年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选
7、择题，本大题10小题，每小题5分，共50分1设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A1iB1+iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】设出复数z=a+bi（a，bR），代入z=2（+i）后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求【解答】解：设z=a+bi（a，bR），则=abi，由z=2（+i），得（a+bi）（abi）=2a+（b1）i，整理得a2+b2=2a+2（b1）i则，解得所以z=1+i故选B【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚
8、部等于虚部，是基础题2设a，bR，那么“1”是“ab0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】不等式的解法及应用【分析】ab0，可推出，而当，时，例如取a=2，b=1，显然不能推出ab0，由充要条件的定义可得答案【解答】解：由不等式的性质，ab0，可推出，而当，时，例如取a=2，b=1，显然不能推出ab0故是ab0的必要不充分条件故选B【点评】本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题3随机变量x1N（2，1），x2N（4，1），若P（x13）=P（x2a），则a=（）A1B2C3D4【
9、考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；概率与统计【分析】随机变量x1N（2，1），图象关于x=2对称，x2N（4，1），图象关于x=4对称，利用P（x13）=P（x2a），建立方程，即可求出a的值【解答】解：随机变量x1N（2，1），图象关于x=2对称，x2N（4，1），图象关于x=4对称，因为P（x13）=P（x2a），所以32=4a，所以a=3，故选：C【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解4已知m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（）Am，nmnBm，nmnCm，n，mnDn，n【考点】平面与平面之间的位置关系【专题
10、】空间位置关系与距离【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：在A选项中，可能有n，故A错误；在B选项中，可能有n，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养5极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：=1与曲线C2：=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（）A1BCD2【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】画出极坐标方程对应的图形，判断选项即可【解答】解：极坐标系中，点P，Q分别是曲线C1：=1与曲线C2：=2上任意
11、两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ|的最小值为：1故选：A【点评】本题考查极坐标方程的应用，两点距离的求法，基本知识的考查6二项式（x2）6的展开式中不含x3项的系数之和为（）A20B24C30D36【考点】二项式定理的应用【专题】计算题；二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式含x3项的系数和，再用所有现代系数和减去此值，即为所求【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=（1）rx123r，令123r=3，求得r=3，故展开式中含x3项的系数为（1）3=20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20，故选：A【点评】本题
12、主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题7函数f（x）=有且只有一个零点时，a的取值范围是（）Aa0B0aCa1Da0或a1【考点】函数的零点【专题】函数的性质及应用【分析】易知1是函数f（x）=的零点，故函数f（x）在（，0上没有零点，从而转化为a2x，或a2x在（，0上恒成立，再转化为最值问题即可【解答】解：f（1）=lg1=0，当x0时，函数f（x）没有零点，故2x+a0或2x+a0在（，0上恒成立，即a2x，或a2x在（，0上恒成立，故a1或a0；故选D【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属
13、于基础题8单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（）A该几何体体积为B该几何体体积可能为C该几何体表面积应为+D该几何体唯一【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可以判断几何体的形状，及其表面展开图的组成部分及各部分的形状，代入多面体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成故其表面积S=3（11）+3（11）+（）
14、2=故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键9已知x，yR，且，则存在R，使得xcos+ysin+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A4B4CD +【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，求解xcos+ysin+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在R，使得xcos+ysin+1=0成立，则（cos+sin）=1，令sin=，则cos=，则方程等价为sin（+）=1，即sin（
15、+）=，存在R，使得xcos+ysin+1=0成立，|1，即x2+y21，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=4，直线y=x的倾斜角为，则AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键综合性较强10已知函数f（x）=2x+cosx，设x1，x2（0，）（x1x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等差数列，f（x）是f（x）的导函数，则（）Af（x0）0Bf（x0）=0Cf（x0）0Df（x0）的符号无法确定【
16、考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】由已知存在x1ax2，f（a）=0，解得a=，由已知得，从而能求出【解答】解：函数f（x）=2x+cosx，设x1，x2（0，）（x1x2），且f（x1）=f（x2），存在x1ax2，f（a）=0，解得a=，假设x1，x2在a的邻域内，即x2x10，f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正，x0a，又xx0，又xx0时，f（x）递减，故选：A【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分11设m是实数，若xR时，不等式|xm|x1
17、|1恒成立，则m的取值范围是0，2【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由绝对值三角不等式，可得|xm|x1|m1|，再根据|m1|1求得m的取值范围【解答】解：|xm|x1|（xm）（x1）|=|m1|，故由不等式|xm|x1|1恒成立，可得|m1|1，1m11，求得0m2，故答案为：0，2【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题12已知一个算法，其流程如图，则输出结果是5【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=5时，满足条件a24a+
18、1，退出循环，输出a的值为5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，a=2不满足条件a24a+1，a=3不满足条件a24a+1，a=4不满足条件a24a+1，a=5满足条件a24a+1，退出循环，输出a的值为5故答案为：5【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查13抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为（ 1，2）【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程设P点坐标，分别表示出其到准线方程和到原点的距离，使其相等进而求得a，则P的坐标可得【解答】解：设点P坐标为（a2，a）依题
19、意可知抛物线的准线方程为x=2a2+2=，求得a=2点P的坐标为（ 1，2）故答案为：（ 1，2）【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题14平面向量，满足|2|=1，|2|=1，则的取值范围，1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】设两个向量的夹角为，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量的模的平方的范围，进一步求数量积的范围【解答】解：设两个向量的夹角为，因为|2|=1，|2|=1，所以，所以， =所以5=1，所以，所以5a21， ，1，所以；故答案为：，1【点评】本题考查了向量的模的平方与向量
20、的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围15在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC；若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45；tanA+tanB+tanC的最小值为3；当tanB1=时，则sin2CsinAsinB；若x表示不超过x的最大整数，则满足tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanC的A，B，C仅有一组【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】利用和角的正切公式，结合三角形的内
21、角和即可判断；由可得tanA=1，进而可判断；举出反例：A=，B=C=计算即可；由可得C=60，进而利用和差角公式及正弦型函数的性质即可判断；由x的定义，结合可确定tanA、tanB、tanC为整数，进而可判断【解答】解：由题意知：A，B，C，且A+B+C=，tan（A+B）=tan（C）=tanC，tanA+tanB=tan（A+B）（1tanAtanB）=tanC（1tanAtanB）=tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正确；由tanA：tanB：tanC=1：2：3，设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，tanA=t
22、an（B+C）=tan（B+C）=x，整理得：x2=1，解得：x=1或x=1，tanA=1或tanA=1（不合题意，舍去），又A为三角形的内角，则A=45，故正确；当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=3，故错误；当tanB1=时， tanAtanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60，此时sin2C=，sinAsinB=sinAsin（120A）=sinA（cosA+sinA）=sin2Acos2A=sin（2A30），则sin2CsinAsinB，故正确；对任意实数x，均有xx，tanA+tanB+tanCtanA+tanB+tanCtanA+tanB+tan
23、C，又由可知tanA、tanB、tanC为整数，不妨设tanAtanBtanC，则tanA、tanB、tanC分别为1、2、3，故正确；故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，属于中档题三、解答题，本大题共6小题，共75分16已知函数f（x）=sin（x+）（0，02）一个周期内的一系列对应值如表：x0y101（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由表可求周期T=，由周期公式可求，由si
24、n（20+）=1，且02，即可求，从而可得函数的解析式（2）先由三角函数恒等变换求解析式g（x）=2sin（2x+），由2k2x+2k，kZ即可解得函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间【解答】（本题满分12分）解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2（0）=所以=2，由sin（20+）=1，且02，所以=所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+）=cos2x6分（2）g（x）=f（x）+sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2k2x+2k，kZ则得kxk+，kZ故函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间是：k，k+，kZ12分【点评】本
25、题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查17已知P（m，n）是函授f（x）=ex1图象上任一于点（）若点P关于直线y=x1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数（s，t）=|sex11|+|tln（t1）|，（sR，t0）的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（1）采用代入法，即先设出Q（x，y）的坐标，然后用x，y表示出已知的点P的坐标，然后带
26、入到已知的解析式中即可（2）由已知的公式，将（s，t）表示出来，然后将问题转化为函数的最值问题来解【解答】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x1对称，所以解得又n=em1，所以x=1e（y+1）1，即y=ln（x1）（2）（s，t）=|sex11|+|tln（t1）1|=，令u（s）=则u（s），v（t）分别表示函数y=ex1，y=ln（t1）图象上点到直线xy1=0的距离由（1）知，umin（s）=vmin（t）而f（x）=ex1，令f（s）=1得s=1，所以umin（s）=故【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想
27、求解体现了解析几何与函数思想的结合18已知梯形ABCD中，ABCD，B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体（）求几何体的表面积（）判断在圆A上是否存在点M，使二面角MBCD的大小为45，且CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）根据题意知该旋转体下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，求出它的表面积即可；（2）作MEAC，EFBC，连结FM，说明MFE为二面角MBCD的平面角，设CAM=，
28、通过tanMFE=1求出，然后求解CM【解答】解：（1）根据题意，得；该旋转体的下半部分是一个圆锥，上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，其表面积为S=422=8，或S=42+（422）+2=8；（2）作MEAC，EFBC，连结FM，易证FMBC，MFE为二面角MBCD的平面角，设CAM=，EM=2sin，EF=，tanMFE=1，tan=，CM=2【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目19如图，已知椭圆C： +y2=1，点B坐标为（0，1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上（）求直线
29、AB的方程（）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OMON为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设点E（t，t），则A（2t，2t+1），通过将点A代入椭圆C，计算即得结论；（）设P（x0，y0），分别联立直线AP与直线y=x的方程、直线BP与直线y=x的方程，计算即得结论【解答】（）解：设点E（t，t），B（0，1），A（2t，2t+1），点A在椭圆C上，整理得：6t2+4t=0，解得t=或t=0（舍去），E（，），A（，），直线AB的方程为：x+2y+2=0；（）证明：设P（x
30、0，y0），则，直线AP方程为：y+=（x+），联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=，直线BP的方程为：y+1=，联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=，OMON=|xM|xN|=2|=|=|=|=【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题20中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0p1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率（）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并
31、求该通讯器械正常工作的概率P（列代数式表示）（）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（）首先由二项分布及其期望公式求得期望，然后利用独立重复试验求得通讯器械正常工作的概率P；（）利用互斥事件的概率加法公式及独立重复试验的概率公式求得增加2个元件后通讯器械正常工作的概率，作差后得到关于p的代数式，然后分p的不同范围得答案【解答】解：（）由题意可知：XB（9，p），故EX=9p在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：在通讯
32、器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：通讯器械正常工作的概率P=；（）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为： p2；若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；此时通讯器械正常工作，故它的概率为：P=p2+，可得PP=p2+，=故当
33、p=时，P=P，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；当0p时，PP，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；当p时，PP，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目21已知数列an满足a1=，an+1=an+，数列bn满足bn=（）证明：bn（0，1）（）证明： =（）证明：对任意正整数n有an【考点】数列递推式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）由已知bn=和an+1=an+，得到，然后利用数学归纳法证明0bn1；（）把变形得，求得，进一步整理得答案；（）由（）的结论得到，放缩后得到，然后结合知，当n2时，再放大证得答案【解答】证明：（）由bn=，且an+1=an+，得，下面用数学归纳法证明：0bn1由a1=（0，1），知0b11，假设0bk1，则，0bk1，则0bk+11综上，当nN*时，bn（0，1）；（）由，可得，=故；（）由（）得：，故由知，当n2时，=【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题
