1、对数函数的图象和性质的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知函数f(x)=3+loga(2x+3)(a0且a1)的图象必经过定点P,则P点坐标是()A.(1,3)B.C.(-1,3)D.(-1,4)【解析】选C.令2x+3=1,解得x=-1,所以f(-1)=3,因此函数f(x)=3+loga(2x+3)的图象过定点(-1,3).2.函数f(x)=|lox|的单调递增区间是()A.B.(0,1C.(0,+)D.1,+)【解析】选D.f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为1,+).3.已知a0且a1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是下图中的()【解
2、析】选B.因为函数y=loga(-x)中,-x0,所以xbaB.bcaC.acbD.abc【解析】选D.因为log3=log32-1,log5=log52-1,log7=log72-1,log32log52log72,故abc.5.函数y=log2(x+)(xR)的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.当xR时,f(-x)=log2(-x+)=log2(-x)=log2=log2=-log2(+x)=-f(x).故函数是奇函数.6.若函数f(x)=loga(6-ax)在0,2上为减函数,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(1,3
3、D.3,+)【解析】选B.函数由y=logau,u=6-ax复合而成,因为a0,所以u=6-ax是减函数,那么函数y=logau就是增函数,所以a1,因为0,2为定义域的子集,且当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a0,解得a3,所以1a0知定义域为x|x0.由复合函数的单调性知单调递减区间是(-,0).答案:x|x0(-,0)8.已知函数f(x)=log2为奇函数,则实数a的值为.【解析】由奇函数得f(x)=-f(-x),log2 =-log2,=,a2=1,因为a-1,所以a=1.答案:1【补偿训练】下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A
4、.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=【解析】选D.函数y=10lg x的定义域与值域均为(0,+).函数y=x的定义域与值域均为(-,+).函数y=lg x的定义域为(0,+),值域为(-,+).函数y=2x的定义域为(-,+),值域为(0,+).函数y=的定义域与值域均为(0,+).三、解答题(每小题10分,共20分)9.设f(x)=lo满足f(-x)=-f(x),a为常数.(1)求a的值.(2)证明f(x)在(1,+)内单调递增.【解析】(1)因为f(-x)=-f(x).所以lo=-lo=01-a2x2=1-x2a=1,检验a=1(舍),所以a=-1.(2)任取x1x21,所以x1
5、-1x2-10.所以011+1+1lo,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,+)内单调递增.10.设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.(1)若t=log2x,求t的取值范围.(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.【解析】(1)因为t=log2x为单调递增函数,而x,所以t的取值范围为,即t-2,2.(2)记t=log2x,则y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)(-2t2).因为y=-在上是减函数,在上是增函数,所以当t=log2x=-,即x=时,y=f(x)有最小值f=-;当t=
6、log2x=2,即x=22=4时,y=f(x)有最大值f(4)=12.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数y=|log2x|的图象是图中的()【解析】选A.有关函数图象的变换是高考的一个考点,本题目的图象变换是翻折变换,可知这个函数是由y=log2x经上折而得到的.2.若函数f(x)=log3x在区间2,2a上的最大值比最小值大,则实数a=()A.B.2C.2D.4【解析】选A.因为函数f(x)=log3x在区间2,2a上单调递增,所以f(2a)-f(2)=log3(2a)-log32=,解得a=.3.函数y=f(x)=lg的图象的对称性为()A.关于直线y=x对称B.
7、关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于原点对称【解析】选D.因为y=f(x)=lg=lg ,所以f(-x)=lg =-lg =-f(x),又因为函数的定义域为(-1,1),关于原点对称,则函数为奇函数,所以函数图象关于原点对称.4.已知函数f(x)=|lg x|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()A.(2,+)B.2,+)C.(3,+)D.3,+)【解析】选C.因为f(a)=f(b),所以|lg a|=|lg b|,所以a=b(舍去)或b=,所以a+2b=a+,又0ab,所以0a1f(1)=1+=3.即a+2b的取值范围是(3,+).二、填空题(每小题5分,共20分)5.
8、方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解为.【解析】由题意,知解得x=3.答案:x=36.函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,则b-a的最小值为.【解析】由题知函数f(x)=|log3x|在区间a,b上的值域为0,1,当f(x)=0时,x=1;当f(x)=1时,x=3或.故要使值域为0,1,定义域可以为x,3,也可以为(1x3),因此,b-a的最小值为.答案:7.方程2|x|+x=2的实数根的个数为.【解析】由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.在同一平面直角坐标系中作出y=2|x|与y=2-x的图象,如图所示,两个函数图象有且仅有2个交点,故方程有2个实数根
9、.答案:28.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上为增函数,f=0,则不等式f(lox)0的解集为.不等式f(lox)0loxx2或0x,所以x(2,+).所以不等式f(lox)0的解集为.答案:(2,+)三、解答题(共30分)9.(10分)已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-,)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上单调递减,因为00,x(-,)恒成立,即所以2a2(+1),故所求a的取值范围是2,2(+1).10.(10分)(1)已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.(2)已知函数f(x)=lg(a
10、2-1)x2+(2a+1)x+1,若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,所以x2+2x+a0恒成立,所以=4-4a1.故a的取值范围是(1,+).(2)依题意(a2-1)x2+(2a+1)x+10对一切xR恒成立.当a2-10时解得a0,对xR不恒成立.所以a的取值范围是.11.(10分)已知函数f(x)=loga在区间1,2上的值恒为正,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a1时,只需x+11,即x0.因为1x2,所以-20,即a1矛盾.(2)当0a1时,设g(x)=x+1,只需0g(x)1.当a=时,g(x)=1,f(x)=0,不符合题意;当0a0,g(x)是增函数,只要g(1)0,且g(2)1,解得a1,与0a矛盾;当a1时,-20,且g(1)1,解得a.综上可知,a的取值范围是.
