1、第4节指数函数 【选题明细表】知识点、方法题号根式与指数幂运算1,8,10指数函数的图象3,6,7,11指数函数的性质2,5,9,12指数函数的图象与性质的综合应用4,13,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于(B)(A)5(B)7(C)9(D)11解析:由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得22a+2-2a+2=9,即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.2.设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c的大小关系是(C)(A)acb(B)cab(C)abc(D)bac解析:b=2.50=1,c=()2.5
2、=2-2.5,则2-2.5122.5,即cba.3.函数y=(0a0时,函数是一个指数函数,因为0a1,所以函数在(0,+)上是减函数;当x0时,函数图象与指数函数y=ax(x0,0a1)的图象关于x轴对称,在(-,0)上是增函数.4.函数f(x)=在(-,+)上单调,则a的取值范围是(A)(A)(-,-(1,(B)-,-1),+)(C)(1, (D),+)解析:由题意知或解得10,a1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(B)(A)(-,2(B)2,+)(C)-2,+)(D)(-,-2解析:由f(1)=,得a2=,所以a=(a=-舍去),即f(x)=()|2x-4|,由于y=|2x-
3、4|在(-,2上递减,在2,+)上递增,所以f(x)在(-,2上递增,在2,+)上递减.6.(2016济南月考)已知g(x)=ax+1,f(x)=对任意x1-2,2,存在x2-2,2,使g(x1)=f(x2)成立,则a的取值范围是(B)(A)-1,+)(B)-1,1(C)(0,1 (D)(-,1解析:由题意可得g(x),x-2,2的值域f(x),x-2,2的值域.由函数图象可得f(x),x-2,2的值域是-4,3,当a=0时,g(x)=1,符合题意;当a0时,g(x),x-2,2的值域是-2a+1,2a+1,所以-2a+1,2a+1-4,3,所以则0a1;当a0时,g(x),x-2,2的值域是
4、2a+1,-2a+1,所以2a+1,-2a+1-4,3,所以则-1a0,且a1)的图象经过点E,B,则a等于(A) (A)(B)(C)2(D)3解析:设点E(t,at),则点B的坐标为(2t,2at).因为B点在函数y=ax的图象上,所以2at=a2t,所以at=2.所以平行四边形OABC的面积=OCAC=at2t=4t.又平行四边形OABC的面积为8,所以t=2,所以a=.故选A.8.(2016温州模拟)设函数f(x)=则f(-2)=.若f(a)=1,则实数a=.解析:因为函数f(x)=所以f(-2)=()-2=22=4;又因为f(a)=1,所以当a0时,()a=1,解得a=0,满足题意;当
5、a0时,log2a=1,解得a=2,满足题意.综上,实数a的值为2或0.答案:42或09.已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是.解析:当x0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)g(0)=0;当xg(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.答案:010.化简下列各式:(1)(0.06)-2.5-0;(2)(-).解:(1)原式=()-()-1=()3-()3-1=-1=0.(2)原式=(-2)=a=a2.能力提升练(时间:15分钟)11.若函数y=ax+b的图象如图,则函数y=+b+1的图象大致为(C)解析:由图可知0a1,-2bf(c)成立,则实
6、数m的取值范围是(A)(A),2(B)0,1(C)1,2(D),1解析:当m=1时,f(x)=1,显然满足题意.当m1时,令y=,可得ex=,由ex0得0,当m1时,有y(1,m),即此时函数f(x)的值域为(1,m),则f(a)+f(b)2且f(c)m,要满足题意,则m2;当m2m且f(c)1,要满足题意,则2m1,即m.综上知,m2,故选A.13.已知函数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是.a0,b0,c0;a0;2-a2c;2a+2c2.解析:画出函数f(x)=|2x-1|的大致图象(如图所示),由图象可知:a0,b的符号不确定,0c|2c-1|,即
7、1-2a2c-1,故2a+2c2,所以2a+c1,所以a+cc,所以2-a2c,不成立.答案:14.已知函数f(x)=().(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.解:(1)当a=-1时,f(x)=(),令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y=()t在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+),单调递减区间是(-,-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=()h(x),由于f(x)有最大值3,且f(x)在R上
8、单调递减,所以h(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.15.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.解:(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1.从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.经检验a=2适合题意,所以所求a,b的值为2,1.(2)由(1)知f(x)=-+.由上式易知f(x)在(-,+)上为减函数.又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0,等价于
9、f(t2-2t)-2t2+k.即对一切tR有3t2-2t-k0.从而判别式=4+12k0,解得k0,a1)有两个不等实根,则a的取值范围是(D)(A)(0,1)(1,+)(B)(0,1)(C)(1,+) (D)(0,)解题关键:转化与化归思想,分类讨论思想与数形结合思想的应用.解析:方程|ax-1|=2a(a0且a1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.当0a1时,如图(1),所以02a1,即0a1时,如图(2),而y=2a1不符合要求.3.函数f(x)=()的单调递减区间为,值域为.解题关键:利用复合函数“同增异减”法则求f(x)的单调减区间,再利用指数函数与二次函数的图象与性质求f(x)的值域.解析:令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y=()t在R上单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减,又g(x)=-(x+2)2+77,所以f(x)()7=3-7.答案:(-,-2)3-7,+)
