1、函数奇偶性的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(多选题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是偶函数的是()A.y=f(|x|)B.y=f(x2)C.y=xf(x)D.y=f(x)+x【解析】选A、B、C.因为f(x)的定义域为R,又因为f(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函数;令F(x)=f(x2),则F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x)是偶函数,即B是偶函数;令M(x)=xf(x),则M(-x)=-xf(-x)=xf(x)=M(x),所以M(x)是偶函数,即C是偶函数;令N(x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=-f(x
2、)-x=-f(x)+x=-N(x),所以N(x)是奇函数,即D是奇函数.2.已知函数f(x)=|x-1|+a|x+1|,则“a=-1”是“f(x)为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.若函数f(x)为奇函数,且函数f(x)的定义域为R,f(x)+f(-x)=|x-1|+a|x+1|+|-x-1|+a|-x+1|=|x-1|+|x+1|+a|x+1|+a|x-1|=(a+1)(|x-1|+|x+1|)=0,所以a+1=0,解得a=-1.所以“a=-1”是“f(x)为奇函数”的充分必要条件.3.偶函数y=f(x)在区间0,4上
3、单调递减,则有()A.f(-1)ff(-)B.ff(-1)f(-)C.f(-)f(-1)fD.f(-1)f(-)f【解析】选A.因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-)=f().又f(x)在0,4上单调递减,所以f(1)ff().所以f(-1)ff(-).4.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是()A.4B.2C.1D.0【解析】选D.因为偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称.因此,若一根为x1,则它关于y轴对称的根为-x1;若另一根为x2,则它关于y轴对称的根为-x2.所以f(x)
4、=0的四根之和为x1+(-x1)+x2+(-x2)=0.5.已知f(x)在a,b上是奇函数,且f(x)在a,b上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在a,b上的最大值与最小值之和为()A.2m+3B.2m+6C.6-2mD.6【解析】选D.因为奇函数f(x)在a,b上的最大值为m,所以它在a,b上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(x)+3在a,b上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式xf(x)0的解集为()A.(-,-4)(4,+)B.(-4,0)(4,+)C.(-,-4)(0,4)D.(-4,
5、4)【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-4x,所以当x0时,xf(x)0f(x)0x2-4x0x4,当x0f(x)0-x(x+4)0x0的解集为(-,-4)(4,+).二、填空题(每小题5分,共10分)7.设f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,又f(x)+g(x)=,则f(x)=,g(x)=.【解析】因为f(x)+g(x)=,所以f(-x)+g(-x)=.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(x)-g(x)=.+,得f(x)=,-,得g(x)=.答案:8.已知f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(x)0的解集为.
6、【解析】根据题意,由于f(1)=0,则f(x)0f(x)f(1),f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递减,则f(x)f(1)f(|x|)f(1)|x|1,解得-1x0的解集为x|-1x1.答案:x|-1x0的解集为.【解析】因为f(x)是R上的奇函数,且单调递减,所以由f(2x+1)+f(x2-4)0得f(2x+1)f(4-x2);所以2x+14-x2;解得-3x1;所以原不等式的解集为(-3,1).答案:(-3,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=(x2+1)(x+1),求f(x),g(x).【解析】因为f(x)是
7、偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).在已知条件中,将x全部换成-x,得f(-x)+g(-x)=(x2+1)(-x+1),即f(x)-g(x)=(x2+1)(-x+1).由得f(x)=x2+1,g(x)=x(x2+1).10.判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(aR)的奇偶性.【解析】对a进行分类讨论.若a=0,则f(x)=|x|-|x|=0.因为定义域为R,关于坐标原点对称.所以f(x)既是奇函数又是偶函数.若a0,因为f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),所以f(x)是奇函数.综
8、上,当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数;当a0时,函数f(x)是奇函数.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知f(x)=ax3+bx+1,且f(5)=7,则f(-5)的值是()A.-5B.-7C.5D.7【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx+1,令g(x)=ax3+bx,f(x)=g(x)+1,则g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(ax3+bx)=-g(x),即g(x)=ax3+bx为奇函数,又f(5)=7,所以f(5)=g(5)+1=7,所以g(5)=6,所以g(-5)=-g(5)=-6,所以f(-5)=g(-5)+1=-6+1=-5.2.函数f(x
9、)在R上为减函数,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3【解析】选D.因为f(x)为R上的奇函数,f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1,由-1f(x-2)1,得f(1)f(x-2)f(-1),又因为f(x)在R上单调递减,所以-1x-21,所以1x3.3.(多选题)定义在(-,+)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)在-1,0上是增函数,则()A.f(x)是周期函数B.f(x)的图象关于x=1对称 C.f(x)在0,1上单调递增D.f(x)在1,2上单调递减【解析】选A、B.由于f(
10、x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),周期为2,故A正确;由于f(2-x)=f(-x)=f(x),图象关于直线x=1对称,故B正确;偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反,故C不正确;根据周期性,函数在1,2上的单调性与-1,0上的单调性相同,故D不正确.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4【解析】选A.由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a57+b55-c53+2=m,得a57-b55+c53=2-m,则f(5)=a57-b55+c5
11、3+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当0x1时,f(x)=x(1-x) ,则当-1x0时,f(x)=.【解析】当-1x0时,f(x)=-f(-x)=-x(1+x)=x(1+x).答案:x(1+x)6.设函数f(x)=为奇函数,则实数a=.【解析】因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)+f(x) =+=0,化简可得a+1=0,解得a=-1.答案:-17.f(x)是定义在R上的奇函数,且单调递减,若f(2-a)+f(4-a)0,则a的取值范围为.【解析】因为f(2-a)+f(4-a)0,所
12、以f(2-a)-f(4-a).又因为f(x)为奇函数,所以-f(4-a)=f(a-4),所以f(2-a)a-4,所以a3.答案:a38.已知f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+3x+2.若当x1,3时,f(x)的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为.【解析】因为x0时,f(x)=x2+3x+2=-,所以当x-3,-1时,f(x)min=f=-,f(x)max=f(-3)=2.因为f(x)为奇函数,所以f(x)在x1,3上的最小值和最大值分别是-2,所以m=,n=-2.所以m-n=-(-2)=,即m-n的值为.答案:三、解答题(共30分)9.(10分)已知函数f(x)是偶函数,当x0
13、,+)时,f(x)=x-1,求满足f(x-1)0的x的取值范围.【解析】设x0,所以f(-x)=-x-1,因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(x)=-x-1(x0),所以f(x)=所以f(x-1)=当x1时,由f(x-1)=x-20,得x2,所以1x2;当x1时,由f(x-1)=-x0,所以0x1,综上可知,满足f(x-1)0的x的取值范围为x|0x2.10.(10分)已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,bR)为R上的偶函数.(1)求a,b的关系式.(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.【解析】(1)因为f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函
14、数,所以f(-x)=f(x)对于xR恒成立,所以(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,即2(a+b)x=0对于xR恒成立,所以a+b=0,即b=-a.(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;当a0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=a.综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为0;当a0时,方程f(x)=0的解集为-a,a.11.(10分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对于任意x,y(-1,1)都有f(x)+f(y)=f;f(x)在(-1,1)上单调递增,且f=1.(1)求f(0).(2)证明f(x)为奇函数.(3)解不等式f(2x-1)1.【解析】(1)令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0.(2)令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)因为f(x)在(-1,1)上单调递增,f=1,所以f(2x-1)1=f可化为解得0x.所以不等式f(2x-1)1的解集为.
