1、单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1设直线l的方向向量v，平面的法向量n，若l，则x()A1 B0 C5 D4【解析】选A.由l，则vn，则存在非零常数，使得vn，即解得x1.2空间中，与向量a(3，0，4)同向共线的单位向量为()Ae(1，0，1)Be(1，0，1)或e(1，0，1)CeDe或e【解析】选C.因为|a|5，所以与a同向共线的单位向量e(3，0，4).3已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别为()A， B，C， D，【解析】选A.由于()，所以m，n.4如图，棱长为1的正方体AB
2、CDA1B1C1D1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A. B C D【解析】选B.如图建立空间直角坐标系，则O，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，所以，由于AB平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，所以ABA1D，又AD1A1D，ABAD1A，所以A1D平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量为(1，0，1)，所以O到平面ABC1D1的距离d.5已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(1，3，1)，则()A与是共线向量 B的单位向量是C与夹角的余弦值是D平面ABC的一个法
3、向量是【解析】选D.由题意，对于A，所以，则与不是共线向量，所以A项是错误的；对于B，因为，所以的单位向量为或，所以B项是错误的；对于C，向量，所以cos ，所以C项是错误的；对于D，设平面ABC的一个法向量是n，因为，所以即令x1，得n(1，2，5)，所以平面ABC的一个法向量为n，所以D项是正确的6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D为AA1上一点若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为()A. B C2 D【解析】选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，
4、2，2).设ADa(0a2)，则点D的坐标为(1，0，a)，(1，0，a)，(0，2，2).设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则即令z1，得m(a，1，1).又平面C1DC的一个法向量为n(0，1，0)，则由cos 60，得，即a，故AD.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：AC1EG；GCED；B1F平面BGC1；EF和BB1所成角为.正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选C.设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，A，C1，G，C，E，D，B1，F，B.，2200，所以AC1EG，故正确，不存
5、在实数使，故GCED不成立，故错误，0，20，故B1F平面BGC1不成立，故错误，设EF和BB1所成角为，则cos ，由于，所以，故正确综上所述，正确的命题有2个8如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC4，ABAC，BAC90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为()A.168 B3216C328 D1616【解析】选A.设D在底面半圆上的射影为D1，连接AD1交BC于O，设A1DB1C1O1.依题意半圆柱体底面直径BC4，ABAC，BAC90，D为半圆弧的中点，所以AD1BC，A1DB1C1且O，O1分别是下底面、上底面半圆的圆心
6、连接OO1，则OO1与上下底面垂直，所以OO1OB，OO1OA，又OAOB，以OB，OA，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为h，则B，D，A，B1，所以，由于异面直线BD和AB1所成的角的余弦值为，所以，即，h216，h4.所以几何体的体积为224424168.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是()A BC D【解析】选ABCD.如图所示：对于A：，对于B：，对于C：，对于D：10如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱
7、AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是()AA1MD1P BA1MB1QCA1M平面DCC1D1 DA1M平面D1PQB1【解析】选ACD.，所以，所以A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1.ACD正确11在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，ADAA12，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是()A对于任意给定的点P，存在点Q使得D1PCQB对于任意给定的点Q，存在点R使得D1RCQC当ARA1C时，ARD1RD当A1C3A1R时，D1R平面BDC1【解析】选ABD.如图所示，建立空
8、间直角坐标系，设P，a，Q，b， 设，得到R，.，42b，当b2时，D1PCQ，A正确；，22b，取时，D1RCQ，B正确；由ARA1C，得412440，此时0，C错误；A1C3A1R，则R，设平面BDC1的法向量为n，则解得n，故n0，故D1R平面BDC1，D正确12如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则以下四个结论正确的是()A.VPAA1DB点P必在线段B1C上CAPBC1DAP平面A1C1D【解析】选BD.对于A，因为P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1平面AA1D，所以P到平面AA1D的距离即为C到平面
9、AA1D的距离，即为正方体棱长，所以VPAA1DSAA1DCD111，A错误；对于B，以D为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系：则A，P，B，D1，B1，C，C1(0，1，1)，所以，因为APBD1，所以1x1z0，所以xz，即P，所以，所以x，即B1，P，C三点共线，所以P必在线段B1C上，B正确；对于C，因为，所以1xx1，所以AP与BC1不垂直，C错误；对于D，因为A1，C1，D，所以，设平面A1C1D的法向量n，所以令x1，则z1，y1，所以n，所以nx11x0，即n，所以AP平面A1C1D，D正确三、填空题(每小题5分，共20分)13在空间直角坐标系中，点P(0，0，1)为平面A
10、BC外一点，其中A(1，1，0)，B(0，2，3)，若平面ABC的一个法向量为(1，m，1)，则点P到平面ABC的距离为_【解析】在空间直角坐标系中，A(1，1，0)，B(0，2，3)，所以，而平面ABC的一个法向量为n(1，m，1)，所以n0，即1m30，解得m2，所以n(1，2，1)，点P(0，0，1)，则，则由点到平面的距离公式可得d.答案：14如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1a，则A(2，0，
11、0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，故(2，2，0)，(2，0，a)，(0，0，a).设平面ACD1的一个法向量为n(x，y，z)，则可取n，故cos n，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以，解得a4.答案：415如图，在四面体DABC中，ADBDACBC5，ABDC6.若M为线段AB上的动点(不包含端点)，则二面角DMCB的余弦值的取值范围是_【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，计算得D，C(0，4，0)，M(a，0，0)(3a3)，平面MBC的一个法向量为n1(0，0，1)，设平面DMC的一个法向量为n2(x，y，z)，则，(
12、a，4，0)，则即令z9，x，y，所以平面DMC的一个法向量为n2，所以，因为3a3，所以a2144256，所以，即二面角的余弦值的取值范围是.答案：16如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，M，N分别是AB和SC的中点则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为_，直线SM与面SAC所成角的大小为_【解析】因为ASBBSCCSA，所以以S为坐标原点，SA，SB，SC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设SASBSC2，则M(1，1，0)，B(0，2，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，0，2).因为(1，1，0)，(0，2，1)，cos ，所以异面直线
13、SM与BN所成的角的余弦值为，面SAC的一个法向量为(0，2，0)，则由cos ，得，即直线SM与面SAC所成角大小为.答案：四、解答题(共70分)17(10分)已知向量a(1，3，2)，b(2，m，4).(1)若ab，求实数m的值；(2)若ab，求实数m的值【解析】(1)a(1，3，2)，b(2，m，4)，若ab，则(1，3，2)(2，m，4)，解得即m6.(2)若ab，则ab23m80，解得m.18(12分)已知在空间直角坐标系中，A(1，2，4)，B(2，3，0)，C(2，2，5).(1)求，2，；(2)若点M满足，求点M的坐标；(3)若p，q，求(pq)(pq).【解析】(1)因为A(
14、1，2，4)，B(2，3，0)，C(2，2，5)，所以(3，5，4)，(1，0，9).所以(4，5，5)，又(4，5，5)，(3，5，4)所以2(10，15，3)，又(3，5，4)，(1，0，9)，所以303633.(2)由(1)知，(3，5，4)(1，0，9)若设M(x，y，z)，则(x1，y2，z4)于是解得故M.(3)由(1)知p(1，0，9)，q(4，5，5).(pq)(pq)|p|2|q|2826616.19(12分)如图所示，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)若点F为BE的中点，
15、求直线AF与平面ADE所成角的正弦值【解析】(1)在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABAD cos DAB，即BD24161612，所以BD2，所以BD2AB2AD2，所以ABD和EBD均为直角三角形，所以EDDB.又DB是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD平面ABD，ED平面EBD，所以ED平面ABD.又AB平面ABD，所以ABDE.(2)由(1)知EDBCDB90，以D为坐标原点，射线DB，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，2，0)，F(，0，1)，所以(2，2
16、，0)，(0，0，2)，(，2，1).设平面ADE的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y，z0，所以n(1，0).设直线AF与平面ADE所成的角为，则有sin |cos n，|.所以直线AF与平面ADE所成角的正弦值为.20(12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离【解析】(1)连接AB1交A1B于点E，连接DE，则点E为AB1的中点，又D是AC的中点，所以DEB1C，因为DE平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD；(2)因为B1C平面A1BD，所以B1C到平
17、面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1，B，A1，.设平面A1BD的法向量为n，所以即即令z1，则n.所求距离为d.21(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，D是棱A1B1的中点，侧棱CC1底面ABC.(1)求异面直线CB1与AC1所成的角；(2)求平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值【解析】(1)因为侧棱CC1底面ABC，所以CC1AC，CC1BC.又因为ACBC，所以可以以C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示因为AA1，BB1，CC1
18、都是三棱柱ABCA1B1C1的侧棱，且CC1底面ABC，所以四边形AA1C1C与CC1B1B都是矩形因为ACBCCC12，所以矩形AA1C1C与CC1B1B都是边长为2的正方形所以C(0，0，0)，A(0，0，2)，B1(2，2，0)，C1(0，2，0). 所以(2，2，0)，(0，2，2).所以cos ，所以异面直线CB1与AC1所成的角是60. (2)因为D是棱A1B1的中点，所以D(1，2，1). 由(1)知，C(0，0，0)，A(0，0，2)，C1(0，2，0).所以(0，2，0)，(0，2，2)，(1，2，1).因为侧棱CC1底面ABC，所以(0，2，0)是平面ABC的法向量. 设平
19、面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则即解得 故可取n(1，1，1).所以cos ，n.所以sin ，n.故平面ADC1与平面ABC所成二面角的正弦值为.22(12分)如图，在多面体ABCDP中，ABC是边长为4的等边三角形，PAAC，BDCD2，PCPB4，点E为BC的中点，平面BDC平面ABC. (1)求证：DE平面PAC；(2)线段BC上是否存在一点T，使得二面角TDAB为直二面角？若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由【解析】(1)因为BDCD2，ABC是边长为4的等边三角形，所以BD2CD22216BC2，所以BDC是等腰直角三角形，BDC90.又点E为BC的中点，所以DE
20、BC.因为平面BDC平面ABC，平面BDC平面ABCBC，所以DE平面ABC.因为PCPB4，PAACAB4，所以PA2AC2424232PC2，PA2AB2424232PB2，所以PAB与PAC都是等腰直角三角形，故PAAC，PAAB.又ACABA，所以PA平面ABC，所以DEPA.因为PA平面PAC，DE平面PAC，所以DE平面PAC.(2)连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，设存在T，使得二面角TDAB为直二面角，易知22，且0.设平面BAD的法向量为n1，则由，得令z11，得x11，y1，故n1.设平面TAD的法向量为n2，则由，得令z21，得x2，y2，故n2.由cos n1，n20，得10，故.所以当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角TDAB为直二面角
