1、第四节 指数函数教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型.本节在高考中的命题热点有三个：一是考查简单指数式的运算及比较大小问题，二是与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用，三是考查指数型函数单调性的应用题型以选择题、填空题为主.基础梳理1根式(1)根式的概念若，则x叫作a的n次方根，其中n1且nN*.式子n a叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作被开方数xnaa的n次方根的表示
2、：xnaxn a当n为奇数且nN*时，n a 当n为偶数且nN*时.(2)根式的性质(n a)na(nN*)n ana，n为奇数，a，a0，a，a0，n为偶数.|a|2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：1n am(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂n am0 无意义(2)有理数指数幂的运算性质：aras(a0，r，sQ)；(ar)s(a0，r，sQ)；(ab)r(a0，b0，rQ)arsarsarbr3指数函数的图象及性质 三基自测1(必修12.1练习改编)下列各式化简正确的为()答案：C2(必修12.1例
3、题改编)函数f(x)3x1的值域为()A(1，)B.(1，)C(0,1)D.1，)答案：B3(必修12.1例题改编)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点A2，13，则f(1)_.答案：3考点一|指数幂的化简与求值(易错突破)【例1】求值与化简：解析(1)原式114114231101161101615.名师点拨 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答
4、跟踪训练(1)(2017江西三校联考)化简4 16x8y4(x0，y0)的结果为()A2x2y B2xyC4x2yD2x2y答案：D答案：85考点二|指数函数的图象及应用(思维突破)【例2】(1)函数f(x)2|x1|的图象大致是()(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析(1)f(x)2x1，x1，12x1，x1，故选B.答案(1)B(2)1,1(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1名师点拨 1.与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得
5、到其大致图象2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解跟踪训练(1)在本例(2)中，将曲线变为y|2x1|，与直线yb有且只有一个公共点，则b的范围是_解析：曲线y|2x1|的图象如图所示，当b0或b1时，yb与曲线有且只有一个公共点答案：01，)(2)在本例(1)中，把函数变为y2|x1|，y12|x1|，y12|x1|，其图象分别为选项中的哪一个解析：y2|x1|可看作y2|x|向左移动一个单位，选A.y12|x1|可看作y12|x|向右平移一个单位，选D.y12|x1|可看作y12|x|向左平移一个单位，选C.考点三|指数函数的性质及应用(方法突破)方法1
6、 利用指数函数的单调性比较大小或解不等式【例3】(1)(2018大连检测)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcB.acbCbacD.bca(2)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析(1)由指数函数y0.6x在(0，)上单调递减，可知0.61.50.60.6，由幂函数yx0.6在(0，)上单调递增，可知0.60.61.50.6，所以bac，故选C.(2)当x1时，由ex12，得x0，且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的大小关系是_解析|x1|0，函数f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域为1，)，a1.由于函数f(
7、x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图象关于直线x1对称，则函数在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)f(1)答案 f(4)f(1)名师点拨 1.比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法2简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论3指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数进行分类讨论跟踪训练(1)关于 x 的方程32x 23a5a 有负数根，则实数 a 的取值范围为_答案：23，34(2)已知 0 x2，则 y124x32x5 的最大值为_答案：52(3)(2018蚌埠检测)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x2或x4 Bx|x0或x4Cx|x0或x6 Dx|x2或x2解析：f(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)2x4，f(x)2x4，x0，2x4，x0.当f(x2)0时，有x20，2x240 或x20，2x240，解得x4或x0.答案：B
