1、学科素养拓训 因式分解是基本且重要的代数知识,是学习分式、函数等知识的基础,掌握因式分解的方法有利于形成合理的知识结构,提高数学思维能力.第1题和第2题都是通过一些特殊方法来分解因式,要善于分析所给代数式的结构特征,通过适当变形,将其转化为简单的问题来解决,在培养核心素养方面具有积极意义.第3题,利用整体思想分解因式,简化了运算过程,培养了学生对整体思想的应用能力.1.添项法分解因式观察下列分解因式的过程:x4+4=x4+4+4x2-4x2(先加上4x2,再减去4x2)=(x4+4x2+4)-4x2(运用分组分解)=(x2+2)2-(2x)2(运用完全平方公式)=(x2+2+2x)(x2+2-
2、2x)(运用平方差公式).像上面这样通过加、减项后,再进行分解因式的方法,叫做添项法分解因式.请用添项法分解因式:x4+164.答案1.解:x4+164=x4+164+14x2-14x2=(x2+18)2-14x2=(x2+18+12x)(x2+18 12x).2.观察下列各式的变形过程.x2+5x+6=(x+2)(x+3),其中2+3=5,23=6;x2+7x+12=(x+3)(x+4),其中3+4=7,34=12;x2-4x+3=(x-1)(x-3),其中(-1)+(-3)=-4,(-1)(-3)=3;请用你发现的规律分解因式:(1)x2+6x+8;(2)x2-2x-8.答案2.解:(1)
3、x2+6x+8=(x+2)(x+4).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).这种分解因式的方法,实际就是逆用公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,运用这种方法的关键是寻找合适的p和q.名师点睛3.利用整体思想分解因式先阅读材料:分解因式(x+y)2+2(x+y)+1.解:令x+y=A,则(x+y)2+2(x+y)+1=A2+2A+1=(A+1)2,故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)分解因式:1+2(x-y)+(x-y)2=.(2)分解因式:(a+b)(a+b-4)+4.(3)试说明:若n为整数,则式子(n+2)(2n+3)(2n2+7n)+9的值一定是某一个整数的平方.答案3.解:(1)(x-y+1)2(2)令a+b=A,则(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.(3)(n+2)(2n+3)(2n2+7n)+9=(2n2+7n+6)(2n2+7n)+9=(2n2+7n)2+6(2n2+7n)+9=(2n2+7n+3)2.n为整数,2n2+7n+3也为整数,式子(n+2)(2n+3)(2n2+7n)+9的值一定是某一个整数的平方.
