1、高考资源网（） 您身边的高考专家2014-2015学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1下列抽样问题中最适合用分层抽样法进行抽样的是（） A 从12名学生中随机抽泣8人参加活动 B 某单位有210名员工，其中老年员工20人，中年员工40人，青年员工150人，为了解情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C 从参加期中考试的1200名高中生随机抽取100人分析作答情况 D 从1200名观众中随机抽取3名幸运观众2已知44（k）=36，把67转化为k进制数为（） A 55（k） B 67（k） C 103（k） D 124（k）3统计甲、乙两
2、名篮球运动员在10场比赛得分，并绘制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是（） A 0 B 1 C 2 D 34某单位为了解用电量y度与气温x之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温：气温（） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据得线性方程=+x中=2，据此预测当天气温为5时，用电量的度数约为（） A 60 B 50 C 40 D 305一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现的点数不小于3”，事件B表示“向上的一面出现奇数点”，事件C表示“向上的一
3、面出现的点数不超过2”，则（） A A与B是互斥而非对立事件 B A与B是对立事件 C A与C是互斥而非对立事件 D A与C是对立事件6在ABC中，“sinA”是“A”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件7若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（） A y=x B y=2x C y=4x D y=x8已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（） A 3 B 4 C 5 D 69在空间直角坐标系Oxyz中，在坐标平面xOy上到点A（3，2，5），
4、B（3，5，1）距离相等的点有（） A 1个 B 2个 C 不存在 D 无数个10直线l经过点P（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为（） A 3x+2y5=0 B 2x+3y5=0 C 2x3y+5=0 D 3x2y+5=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11用秦九韶算法计算多项式f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1，当x=5时，乘法运算与加法运算的次数和为12已知向量=（2，1），=（x，y），若x1，0，1，y2，0，2，4，则事件“”发生的概率是13直线l经过点（0，2）且与抛物线y2=8x只有一个公共点，满足这样条件的
5、直线l有条141911与1183的最大公约数是15下列命题中：命题p：“xR，使得2x210”，则p是假命题；“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题；命题p：“x，x22x+30”，则p：“x，x22x+30”命题“若p，则q”的逆否命题是“若q则p”，其中正确命题是三、解答题（共6小题，满分75分）16命题p：过原点O可以作两条直线与圆相切，命题q：直线不过第二象限，若命题“pq”为真命题，求实数m的取值范围17在某次数学测试中，记答对题数：大于或等于6道为合格，小于6道为不合格，现从A，B两个班级随机抽取5人答对的题数进行分析，结果记录如下：A班55889B班m47n8由于表
6、格受损，数据m，n看不清，统计人员只记得mn，且在抽取的数据中，A班的平均数比B班的平均数多1道题，两班数据的方差相同（1）求表格中m和n的值；（2）若从抽取的B班5人中任取2人，求2人都合格的概率18在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上（1）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（2）当=时，求二面角BCDB1的余弦值19某大型连锁超市为迎接春节购物季，销售一批年货产品，已知每销售1份获利30元，未销售的产品每份损失10元，根据以往销售情况其市场需求量的频率分布直方图如图所示，该超市欲购8000份（1）根据直方图估计该购物季需求量的
7、中位数和平均数；（2）根据直方图估计利润不少于16万的概率20已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）在抛物线上（1）写出该抛物线的方程；（2）过点P作抛物线的两条弦PD、PE，且PD、PE的斜率k1、k2满足k1k2=2，求证：动直线DE过定点，并求定点的坐标21（14分）（2015路南区校级模拟）已知椭圆E：=1（ab0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值2
8、014-2015学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1下列抽样问题中最适合用分层抽样法进行抽样的是（） A 从12名学生中随机抽泣8人参加活动 B 某单位有210名员工，其中老年员工20人，中年员工40人，青年员工150人，为了解情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C 从参加期中考试的1200名高中生随机抽取100人分析作答情况 D 从1200名观众中随机抽取3名幸运观众考点： 分层抽样方法专题： 概率与统计分析： 根据分层抽样的定义，判断样本是否差异明显即可解答： 解：A样本数据较少，使用简单随机抽样B样本差异明显
9、，使用分层抽样C样本个体无差异且数量较多，使用系统抽样D样本个体无差异且数量较多，使用系统抽样故选：B点评： 本题主要考查分层抽样的应用，比较基础2已知44（k）=36，把67转化为k进制数为（） A 55（k） B 67（k） C 103（k） D 124（k）考点： 进位制专题： 计算题分析： 首先由已知求k的值，然后依次除以8，求余数，最后把余数从下到上连接起来即为8进制数解答： 解：44（k）=36，4k1+4k0=36，可解得：k=8，678=8388=1018=01即67转化为k进制数为：103（8），故选：C点评： 本题考查算法的概念，以及进位制的运算，属于基本知识的考查3统计甲
10、、乙两名篮球运动员在10场比赛得分，并绘制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是（） A 0 B 1 C 2 D 3考点： 众数、中位数、平均数专题： 概率与统计分析： 根据茎叶图，结合中位数的定义分别求出中位数即可得到结论解答： 解：由茎叶图可得甲的中位数为（24+30）=27，乙的中位数为（26+30）=28，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是|2827|=1，故选：B点评： 本题主要考查茎叶图的应用，根据中位线的定义求出对应的中位数是解决本题的关键4某单位为了解用电量y度与气温x之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温：气温（） 14 12
11、8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据得线性方程=+x中=2，据此预测当天气温为5时，用电量的度数约为（） A 60 B 50 C 40 D 30考点： 线性回归方程专题： 应用题；概率与统计分析： 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数解答： 解：由表格得=（14+12+8+6）4=10，=（22+26+34+38）4=30即样本中心点的坐标为：（10，40），又样本中心点（10，40）在回归方程=+x中=230=10（2）+，解得：a=
12、50，=502x当x=5时，y=2（5）+50=40故选：C点评： 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解5一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现的点数不小于3”，事件B表示“向上的一面出现奇数点”，事件C表示“向上的一面出现的点数不超过2”，则（） A A与B是互斥而非对立事件 B A与B是对立事件 C A与C是互斥而非对立事件 D A与C是对立事件考点： 互斥事件与对立事件菁优网版权所有专题： 综
13、合题；概率与统计分析： 由题意可得事件A、C不会同时发生，而且AC为必然事件，从而得出结论解答： 解：由题意可得事件A、C不会同时发生，而且AC为必然事件，故A与C是对立事件，故选：D点评： 本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，属于基础题6在ABC中，“sinA”是“A”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义，结合三角函数值的求解即可得到结论解答： 解：在ABC中，若sinA，则x则，“sinA”是“A”的充分不必要条件，故选：A点评： 本题主要考查充
14、分条件和必要条件的判断，比较基础7若椭圆+=1（ab0）的离心率为，则双曲线=1的渐近线方程为（） A y=x B y=2x C y=4x D y=x考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到解答： 解：椭圆+=1（ab0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线=1的渐近线方程为y=x，即有y=x故选A点评： 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题8已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在AF1B中，若有两边之和
15、是10，则第三边的长度为（） A 3 B 4 C 5 D 6考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a，可求出在AF1B的周长，则第三边的长度等于周长减另两边的和解答： 解：A，B两点在椭圆+=1上，|AF1|+|AF2|=8，|BF1|+|BF2|=8|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16|AF1|+|BF1|+|AB|=16在AF1B中，有两边之和是10，第三边的长度为1610=6故选：D点评：本题主要考查应用椭圆定义求三角形的周长，做题时尽量数形结合9在空间直角坐标系Oxyz中，在坐标平面xOy上
16、到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离相等的点有（） A 1个B 2个 C 不存在 D 无数个考点： 空间两点间的距离公式专题： 空间位置关系与距离分析： 设空间直角坐标系Oxyz中坐标平面xOy上的点，由|PA|=|PB|，求出满足条件的点的个数是什么解答： 解：设空间直角坐标系Oxyz中坐标平面xOy上的点P（x，y，0），则点P到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离为|PA|、|PB|，根据题意，得|PA|=|PB|；即（x3）2+（y2）2+（05）2=（x3）2+（y5）2+（01）2，化简，得y=；满足条件的点有无数个故选：D点评： 本题考查了空间之间坐标系的应用问题，是基
17、础题目10直线l经过点P（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为（） A 3x+2y5=0 B 2x+3y5=0 C 2x3y+5=0 D 3x2y+5=0考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程解答： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，1）是线段AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2；点A，B代入椭圆方程作差，得：（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0，由题意知，直线l的斜率存在，kAB=，直线l的方程为：y
18、1=（x1），整理得：2x+3y5=0故直线l的方程为2x+3y5=0故选：B点评： 本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11用秦九韶算法计算多项式f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1，当x=5时，乘法运算与加法运算的次数和为8考点： 秦九韶算法专题： 算法和程序框图分析： 由f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1=（x+4）x+3）x+2）x）x+1，即可得出解答： 解：f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1=（x+4）x+3）x+2）x）x+1，当x=5的值时，乘法运
19、算与加法运算的次数和=4+4=8，故答案为：8点评： 本题考查了秦九韶算法，考查了计算能力，属于基础题12已知向量=（2，1），=（x，y），若x1，0，1，y2，0，2，4，则事件“”发生的概率是考点： 几何概型专题： 计算题；概率与统计分析： 设“”为事件A，由，得2x+y=0，确定基本事件空间，A包括的事件，即可求出事件“”发生的概率解答： 解：设“”为事件A，由，得2x+y=0基本事件空间为=（1，2），（1，0），（1，2），（1，4），（0，2），（0，0），（0，2），（0，4），（1，2），（1，0），（1，2），（1，4），共包含12个基本事件；其中A=（1，2），（0，0）
20、，（1，2），包含3个基本事件则P（A）=，即的概率为故答案为：点评： 本题考查事件“”发生的概率，考查向量数量积运算，考查学生的计算能力，比较基础13直线l经过点（0，2）且与抛物线y2=8x只有一个公共点，满足这样条件的直线l有3条考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 直线y=2与抛物线只有一个交点；过点（0，2）与抛物线相切的直线有2条解答： 解：直线y=2与抛物线只有一个交点；直线y=0与抛物线相切于原点，有且只有一个公共点；设斜率存在与抛物线相切的直线l的方程为：y=kx+2，（k0）联立，化为ky28y+16=0，令=6464k=0，解得k=1切线为y=
21、x+2综上可得：满足条件的直线共有3条：y=2；y=0；y=x+2故答案为：3点评： 本题考查了与抛物线相切的直线、与对称轴平行的直线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题141911与1183的最大公约数是91考点： 用辗转相除计算最大公约数专题： 算法和程序框图分析： 利用辗转相除法，将1911与1183代入，即可求得1911与1183的最大公约数解答： 解：用辗转相除法求：1911=11183+728，1183=1728+455，728=1455+273455=1273+182，273=1182+91，182=291，1911与1183的最大公约数是91故答案为：91点评： 本题考查的知
22、识点是用辗转相除法，计算最大公约数，熟练掌握辗转相除法是解题的关键15下列命题中：命题p：“xR，使得2x210”，则p是假命题；“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题；命题p：“x，x22x+30”，则p：“x，x22x+30”命题“若p，则q”的逆否命题是“若q则p”，其中正确命题是考点： 命题的真假判断与应用专题： 综合题；推理和证明分析： 对，判断命题为真命题，则p为假命题；对，写出命题的逆命题，判断真假；对，全称命题的否定是否定结论，p应为：“x，x22x+30”；对，逆否命题应是“若q，则p”解答： 解：x=0时，2x21=10，命题p为真命题，p为假命题，故正确；若
23、x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“x，y互为相反数，则x+y=0”是真命题；故错误；命题p：“x，x22x+30”，则p应为：“x，x22x+30”，故错误；命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，故正确故答案为：点评： 本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了全称命题的否定，需细心解答三、解答题（共6小题，满分75分）16命题p：过原点O可以作两条直线与圆相切，命题q：直线不过第二象限，若命题“pq”为真命题，求实数m的取值范围考点： 复合命题的真假专题： 计算题分析： 由二次方程表示圆可家里关于m的不等式，然后根据条件可知O在已知圆外又可以寻求m的不等式，从而可求P 为真
24、时m的范围结合直线的性质可求Q为真 时m的范围，然后根据复合命题的真假关系即可求解m的范围解答： 解：当命题p为真命题时有O在圆外即：解得则0m1或2m1（5分）当命题q为真命题时有：，故，则，（10分）依题意有p、q均为真命题，故或（12分）点评： 本题以复合命题的真假关系为载体，主要考查了二次方程表示圆，直线与圆的位置关系的应用，具有一定的综合性17在某次数学测试中，记答对题数：大于或等于6道为合格，小于6道为不合格，现从A，B两个班级随机抽取5人答对的题数进行分析，结果记录如下：A班55889B班m47n8由于表格受损，数据m，n看不清，统计人员只记得mn，且在抽取的数据中，A班的平均数
25、比B班的平均数多1道题，两班数据的方差相同（1）求表格中m和n的值；（2）若从抽取的B班5人中任取2人，求2人都合格的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数专题： 概率与统计分析： （1）先求出A班平均数与方差，再根据A与B班的关系，列出B班平均数与方差的式子，即可求出m和n；（2）写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率解答： 解：（1）A班平均数为=7，方差为=，A班的平均数比B班的平均数多1道题，两班数据的方差相同由mn，解得m=4，n=7（2）由（1）的结果可知，B班5个人中，2人不合格，3人合格，分别设为a，b，1，2，3，从B班5人中任抽取2
26、人共有10中情况：ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23其中满足条件的有：12，13，23，故两人都合格的概率为点评： 本题考查了平均数与方差的公式，以及随机事件的概率18在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上（1）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD；（2）当=时，求二面角BCDB1的余弦值考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （1）根据线面平行的判定定理即可证明AC1平面B1CD；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角BCDB1的余弦值解答： 解：（
27、1）证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE因为 直三棱柱ABCA1B1C1，D是AB中点，所以 侧面B B1C1C为矩形，DE为ABC1的中位线，所以 DEAC1因为 DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以 AC1平面B1CD（2）由（1）知ACBC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）设D （a，b，0）（a0，b0），因为 点D在线段AB上，且，即所以a=2，平面BCD的法向量为 设平面B1 CD的法向量为，由，得 ，所以 ，y=2，所以 所以二面角BCDB1的余弦值为点评： 本题主要考查线面平
28、行的判定依据二面角的求解，根据相应的判定定理以及利用坐标法是解决二面角的基本方法19某大型连锁超市为迎接春节购物季，销售一批年货产品，已知每销售1份获利30元，未销售的产品每份损失10元，根据以往销售情况其市场需求量的频率分布直方图如图所示，该超市欲购8000份（1）根据直方图估计该购物季需求量的中位数和平均数；（2）根据直方图估计利润不少于16万的概率考点： 频率分布直方图；众数、中位数、平均数专题： 概率与统计分析： （1）通过中位数、平均数的定义直接计算即可；（2）通过利润=获利损失，计算可得利润不少于16万，等价于需求量不小于6000，进而可得概率解答： 解：根据频率分布直方图可得：（
29、1）由，得中位数为70（百份），平均数为：0.130+0.250+0.470+0.390=68（百份）；（2）设需求量为x份时，由利润不少于16万，得：30x10（8000x）160000，解得x6000，故只需要需求量不小于6000即可，利润不少于16万的概率P=10.3=0.7点评： 本题考查频率分布直方图，考查中位数，平均数，概率的求法，找出利润与需求量之间的关系是解决本题的关键，属于中档题20已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）在抛物线上（1）写出该抛物线的方程；（2）过点P作抛物线的两条弦PD、PE，且PD、PE的斜率k1、k2满足k1k2=2，求证：动直线DE
30、过定点，并求定点的坐标考点： 抛物线的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）运用待定系数法，设抛物线方程，代入求解，即可得到所求方程；（2）设D（，y1），E（y2），运用直线的斜率公式和设DE：x=my+n，代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理，可得n=2m1，代入直线方程，再令x=1，可得y=2，即有定点坐标解答： （1）解：设抛物线方程为y2=2px（p0），由P（1，2）在抛物线上，可得4=2p，解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x；（2）证明：设D（，y1），E（y2），则k1k2=2，即有y1y2+2（y1+y2）=4设DE：x=my+n，代入抛物线
31、方程y2=4x，可得y24my4n=0，即有y1+y2=4m，y1y2=4n，即有4n+8m=4，即为n=2m1，代入直线x=my+n，可得x+1=m（y+2），令x=1，可得y=2则动直线DE过定点，定点的坐标为（1，2）点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时直线的斜率公式和直线恒过定点的求法，属于中档题21（14分）（2015路南区校级模拟）已知椭圆E：=1（ab0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于
32、点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出解答： 解：（1）由题意可得，解得椭圆E的方程为（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，1），设P（x0，y0），则则直线PA1的方程为，令y=0，得xN=；直线PA2的方程为，令y=0，得由切割线定理可得：|OT|2=|OM|ON|=4，|OT|=2，即线段OT的长为定值2点评： 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键高考资源网版权所有，侵权必究！
