1、专题31 平行线的性质【知识点总结】一、平行线的公理、定理公理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同位角相等.（简记为：两直线平行，同位角相等）. 定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.定理：两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补).要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质 二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截
2、，得到的内错角相等（简记为：两直线平行，内错角相等）.因为ab,所以1=2（两直线平行，同位角相等），又3=1 (对顶角相等)所以2=3.2.两条平行线被第三条直线所截，得到的同旁内角互补(简记为：两直线平行，同旁内角互补). 因为ab,所以3=2（两直线平行，内错角相等），又3+1=180（补角的定义），所以2+1=180.要点诠释：平行线性质定理的证明，要借助平行线线性质公理，因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论，不需要证明，但是定理、性质或推论到的证明其正确性.三、平行线的性质与判定（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关
3、系（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆（3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角【精典例题】一、平行线的性质公理、定理的应用1、如图所示，如果ABDF，DEBC，且165那么你能说出2、3、4的度数吗?为什么【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DEBC，可得14，1+2180；第二层次是由DFAB，可得32或3+4180，从而解出2
4、、3、4的度数【答案与解析】 解： DEBC， 4165(两直线平行，内错角相等) 2+1180(两直线平行，同旁内角互补) 2180-1180-65115 又 DFAB(已知)， 32(两直线平行，同位角相等) 3115(等量代换)【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系2、如图，1=2，A=60，则ADC=度【答案】解：1=2，ABCD，A+ADC=180，A=60，ADC=120故答案为：1203、如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角A是105度，第二次拐的角B是135度，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路
5、平行，那么C应为多少度？【思路点拨】过点B作直线BECD，用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答【答案与解析】解：过点B作直线BECDCDAF，BECDAFA=ABE=105CBE=ABC-ABE=30又BFCD，CBE+C=180C=150【总结升华】此题是一道生活实际问题，根据题目信息，转化为关于平行线性质的数学问题4、已知，如图，ABCD，BEFD求证：B+D=180【思路点拨】根据平行线的性质可得B=1，1+D=180，等量代换即可证明B+D=180【答案与解析】证明：ABCD（已知），B=1（两直线平行，内错角相等）BEFD（已知），1+D=180（两直线平行，同
6、旁内角互补）B+D=180（等量代换）【总结升华】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等5、如图，ABCD，CE平分ACD，若1=25，求2的度数【答案】解：CE平分ACD，1=25，ECD=1=25，ABCD，ECD+2=180，2=180-ECD=1556、如图，ABCD，分别探讨下面四个图形中APC与PAB、PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明（适当添加辅助线，其实并不难）【思路点拨】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可【答案与解析】如图：（1）APC=PAB+PCD；证明：过点P作PFAB，
7、则ABCDPF，APC=PAB+PCD（两直线平行，内错角相等）（2）APC+PAB+PCD=360；（3）APC=PABPCD；（4）ABCD，POB=PCD，POB是AOP的外角，APC+PAB=POB，APC=POBPAB，APC=PCDPAB【总结升华】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的7、如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识根据下面的条件完成证明已知：如图，BCAD，BEAF（1）求证：A=B；（2）若DOB=135，求A的度数【思路点拨】（1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得A=B（2）由平行线的
8、性质（两直线平行，同旁内角互补）可得A=180-DOE【答案与解析】解：（1）BCAD，B=DOE，又BEAF，DOE=A，A=B（2）DOB=EOA，由BEAF，得EOA+A=180又DOB=135，A=45【总结升华】本题考查的是平行线的性质，主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力，要结合实际图象画出数学图形，再运用平行线的性质来解决8、已知：如图，BDAFCE，ABD=60，ACE=36，AP是BAF的平分线，求PAC的度数【答案】解：BDAF，ABD=60，BAF=ABD=60，AP平分BAF，PAF=BAF=30，又AFCE，ACE=36，CAF=ACE=36PAC=PAF+CAF=30+36=66二、平行的性质与判定综合应用1、如图所示，ABEF，那么BAC+ACE+CEF( ) A180 B270 C360 D540【答案】C 【解析】过点C作CDAB， CDAB， BAC+ACD=180(两直线平行，同旁内角互补)又 EFAB EFCD DCE+CEF=180(两直线平行，同旁内角互补)又ACEACD+DCEBAC+ACE+CEFBAC+ACD+DCE+CEF=180+180=360【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到BAC +ACE+CEF360
