1、2.2.2 椭圆的简单几何性质目标定位重点难点1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质2.掌握标准方程中的a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e的关系重点：椭圆的几何性质难点：椭圆的几何性质的应用椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上范围axabybbxbaya顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上轴长短轴长_，长轴长_焦点F
2、1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距2c对称性对称轴_，对称中心_离心率eca(0e1)2b2ax轴、y轴原点1椭圆 6x2y26 的长轴端点坐标为()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(6，0)，(6，0)D(0，6)，(0，6)【答案】D【解析】由 6x2y26 得 x2y261，a26，b21.长轴端点坐标为(0，6)，(0，6)2椭圆x24y231 的离心率为()A14B12C2 D4【答案】B【解析】由已知得 a24，b23，c1.eca12.3椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(1
3、3,0)B(0，10)C(0，13)D(0，69)【答案】D【解析】由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则 c a2b2 69，故焦点坐标为(0，69)4已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 55，且过点 P(5,4)，则椭圆的方程为_【答案】x245y2361【解析】设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，将点(5,4)代入得25a216b21.又离心率 eca 55，即 e2c2a2a2b2a215，解得 a245，b236.故椭圆的方程为x245y2361.【例1】求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率【解题探究】先将椭圆方程化成标
4、准形式，再求值椭圆的简单几何性质【解析】将椭圆方程变形为x29y241，a3，b2.c a2b2 94 5.椭圆的长轴长为 2a6，焦距为 2c2 5，焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5，0)，顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率 eca 53.确定椭圆的几何性质，应先将椭圆方程化成标准形式，确定焦点的位置，再根据a，b的值，求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质1已知椭圆 x2(m3)y2m(m0)的离心率 e 32.(1)求实数 m 的值；(2)求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标【解析】(1)椭圆方程可化为x2m y2mm31，m
5、mm3mm2m3 0，m mm3，a2m，b2 mm3，c2a2b2mm2m3.由 e 32，得m2m3 32，m1.(2)由(1)，知椭圆的标准方程为 x2y2141，a1，b12，c 32.椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为F1 32，0，F232，0；四个顶点坐标分别为 A1(1,0)，A2(1,0)，B10，12，B20，12.利用椭圆的几何性质求标准方程【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆过(3,0)，离心率 e 63；(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为 8.【解题探究】求椭圆的标准方程，就是用待定系数法求 a，b.【解析】
6、(1)若焦点在 x 轴上，则 a3，eca 63，c 6.b2a2c2963.椭圆的方程为x29y231.若焦点在 y 轴上，则 b3，eca1b2a219a2 63，解得 a227.椭圆的方程为y227x291.(2)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)，|OF|c，|A1A2|2b，cb4.a2b2c232.所求椭圆的方程为x232y2161.由椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程的一般步骤是：确定焦点所在的坐标轴；构造方程，求a，b的值；写出标准方程.2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点 P(3,0)，Q
7、(0，2)；(2)长轴长为 20，离心率等于35.【解析】(1)由椭圆的几何性质，知以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点 P，Q 分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有 a3，b2.又长轴在 x 轴上，所以所求的椭圆的标准方程为x29y241.(2)因为 2a20，eca35，所以 a10，c6，b2a2c264.由于椭圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 x2100y2641 或 y2100 x2641.忽视焦点位置的讨论致误【示例】已知椭圆 x2k8y291 的离心率 e12，则实数 k的值等于_【错解】因为 a2k8，b29，所以
8、 c2k89k1.又因为 e12，所以 k1k812，解得 k4.【错因分析】仅根据椭圆的离心率不能确定焦点位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，没有对焦点的位置进行讨论【正解】根据椭圆的标准方程，可讨论如下两种情况：(1)若椭圆焦点在 x 轴上，则 a2k8，b29，得 c2k1.由 e12，得 k1k812，解得 k4.(2)若椭圆焦点在 y 轴上，则 a29，b2k8，得 c29(k8)1k，由 e12，得 1k312，解得 k54.综上可知 k4 或 k54.【警示】椭圆的几何性质分为两类：第一类是与坐标系无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率；第二类是与坐标系有关的性质，
9、如顶点、焦点、中心坐标仅根据第一类的性质不能确定焦点的位置，必须分类讨论1深刻理解椭圆的标准方程中几何量a，b，c，e等之间的关系和几个量的本质含义2讨论椭圆的几何性质时，要分清焦点所在的坐标轴1如图，A，B，C 分别为x2a2y2b21(ab0)的顶点与焦点，若ABC90，则该椭圆的离心率为()A.1 52B1 22C.21D 22【答案】A【解析】|AB|2a2b2，|BC|2b2c2，|AC|2(ac)2，ABC90，|AC|2|AB|2|BC|2，即(ac)2a22b2c2.2ac2b2，即 b2a2c2ac.e2e10，解得 e1 52.又 e0，e1 52.2(2019年河北张家口
10、期末)已知椭圆x2a2y2b21与椭圆x225y2161 有相同的长轴，椭圆x2a2y2b21 的短轴长与椭圆y221x291的短轴长相等，则()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29 或 a29，b225Da225，b29【答案】D【解析】椭圆x225y2161 的长轴长为 10，焦点在 x 轴上，椭圆y221x291 的短轴长为 6，a225，b29.【答案】2或1【解析】由于椭圆的焦点为(0,1)，3mm21，解得m2或1.3椭圆x2m2 y23m1 的一个焦点为(0,1)，则 m 等于_4P 是椭圆x24y231 上的任意一点，F1，F2 是椭圆的焦点，则|PF1|PF2|的最大值和最小值之差为_【答案】1【解析】设|PF1|r，则|PF2|4r,1r3.|PF1|PF2|r(4r)r24r，当r1或3时，(|PF1|PF2|)min3；当r2时，(|PF1|PF2|)max4.|PF1|PF2|的最大值和最小值之差为1.点击进入WORD链接
