1、考点规范练42圆的方程一、基础巩固1.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案:A解析:由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r,|2a-1+4|22+(-1)2=|2a-1-6|22+(-1)2,解得a=1.r=|21-1+4|22+(-1)2=5,所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则实数a的值为()A.2B.
2、0或2C.12D.-2答案:B解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,则圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为|1-2+a|2=22,解得a=0或a=2.3.(2021福建三明模拟)当a取不同的实数时,方程x2+y2+2ax+2ay-1=0可以表示不同的圆,则()A.这些圆的圆心都在直线y=x上B.这些圆的圆心都在直线y=-x上C.这些圆的圆心都在直线y=x或y=-x上D.这些圆的圆心不在同一条直线上答案:A解析:由题意,可知圆心坐标为(-a,-a),圆心都在直线y=x上.4.圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y+2
3、)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4答案:C解析:由圆(x+2)2+(y-12)2=4可得圆心坐标为(-2,12),半径为2,则所求圆的圆心与点(-2,12)关于直线x-y+8=0对称,且半径为2.设所求圆的圆心坐标为(a,b),则a-22-b+122+8=0,b-12a+2=-1,解得a=4,b=6.故所求圆的方程为(x-4)2+(y-6)2=4.故选C.5.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+2B.2C.1+22D.2+22答案:A解析:将圆的方程化为(x-1)2+(y-
4、1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d=|1-1-2|2=2,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=2+1.故选A.6.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6答案:ABD解析:圆M的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=25,圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确.ABD均正确.7.(2021河北张家口三模)“a0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的()A.充分不必
5、要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:将x2+y2-2ax-2y+a+1=0化为(x-a)2+(y-1)2=a2-a.当点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外时,a2-a0,a0,解得a1.故“a0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.8.若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.答案:(x-2)2+y+322=254解析:因为圆C经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心坐标为(2,m).又因为圆C与直线y=1相切,所以22+m2=|1-m|,解得m=-32.所以圆C的方程
6、为(x-2)2+y+322=254.9.(2021江西景德镇高三期末)已知过点P(-1,1)作圆x2+y2-ax-2y+a2-2=0的切线有两条,则a的取值范围是.答案:(1,2)解析:因为x2+y2-ax-2y+a2-2=0表示一个圆,所以(-a)2+(-2)2-4(a2-2)0,解得-2a0,解得a1.所以1a0,解得a1.故选A.15.已知圆C过点(4,6),(-2,-2),(5,5),点M,N在圆C上,则CMN的面积的最大值为()A.100B.25C.50D.252答案:D解析:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点(4,6),(-2,-2),(5,5)的坐标分别代入可得,
7、52+4D+6E+F=0,8-2D-2E+F=0,50+5D+5E+F=0,解得D=-2,E=-4,F=-20.故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-20=0,即(x-1)2+(y-2)2=25,故CMN的面积S=12|CM|CN|sinMCN1255=252.故选D.16.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为55,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31,则圆C的方程为.答案:(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2解析:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知2r2=(2b)2,
8、r2=a2+1,|a-2b|5=55,解得a=-1,b=-1,r2=2或a=1,b=1,r2=2.故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.17.(2021重庆实验中学月考)已知O的方程为x2+y2=4,过点M(4,0)的直线与O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为.答案:x2+y2-4x=0(0x1)解析:设点P(x,y),由题意,可知OPPM=0,又OP=(x,y),PM=(4-x,-y),所以(4-x)x-y2=0,即x2+y2-4x=0.所以点P在圆x2+y2-4x=0上.又点P在O内,圆x2+y2-4x=0与O交于点(1,3),(1,-
9、3),所以0x1.所以点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0x0,b0)对称,求2a+6b的最小值.解:圆x2+y2+4x-12y+1=0的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=39,圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a0,b0)对称,该直线经过圆心(-2,6),即-2a-6b+6=0,a+3b=3.又a0,b0,2a+6b=23(a+3b)(1a+3b)=23(1+3ab+3ba+9)23(10+23ab3ba)=323,当且仅当3ba=3ab,即a=b=34时取等号.故2a+6b的最小值为323.19.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2
10、2,在y轴上截得的线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.解:(1)设点P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2.y2+2=x2+3,即y2-x2=1.圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),则|x0-y0|2=22,即|x0-y0|=1.y0-x0=1,即y0=x01.当y0=x0+1时,由y02-x02=1,得(x0+1)2-x02=1.x0=0,y0=1,r2=3.圆P的方程为x2+(y-1)2=3.当y0=x0-1时,由y02-x02=1,得(x0-1)2-x02=1.x0=0,y0
11、=-1,r2=3.圆P的方程为x2+(y+1)2=3.综上所述,圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.三、探究创新20.在平面直角坐标系Oxy中,圆C过点(0,-1),(3+2,0),(3-2,0).(1)求圆C的方程.(2)是否存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OAOB?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把点(0,-1),(3+2,0),(3-2,0)的坐标分别代入,得1-E+F=0,11+62+(3+2)D+F=0,11-62+(3-2)D+F=0,解得D=-6,E=8,F=7.故
12、圆C的方程为x2+y2-6x+8y+7=0.(2)由x2+y2-6x+8y+7=0,x+y+a=0,得2x2+(2a-14)x+a2-8a+7=0.圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,=(2a-14)2-8(a2-8a+7)0,解得-5a7.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=7-a,x1x2=a2-8a+72,y1y2=(-x1-a)(-x2-a)=x1x2+a(x1+x2)+a2.OAOB,x1x2+y1y2=2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,2a2-8a+72+(7-a)a+a2=0,整理,得a2-a+7=0,=1-280,该方程无解,不存在实数a,使得圆C与直线x+y+a=0交于A,B两点,且OAOB.
