1、考点规范练4二次函数与一元二次方程、不等式一、基础巩固1.(2021河北邢台高三检测)已知不等式x2-5x+a0的解集是x|2xb,则实数a等于()A.-14B.-3C.3D.6答案:D解析:x2-5x+a0的解集是x|2xb,2和b是方程x2-5x+a=0的解.由根与系数的关系知2+b=5,2b=a,解得b=3,a=6.2.不等式x-12x+10的解集为()A.x-12x1B.x-12x1C.xx-12,或x1D.xx12,或x1答案:A解析:由x-12x+10,转化为(x-1)(2x+1)0,2x+10,解得-12x1,x-12,故-12x1.3.(多选)下列四个不等式中,解集为的是()A
2、.-x2+x+10B.2x2-3x+40(a0)答案:BCD解析:对于选项A,-x2+x+10对应的函数y=-x2+x+1的图象开口向下,显然解集不为;对于选项B,2x2-3x+40对应的函数y=2x2-3x+4的图象开口向上,由于=9-320,故其解集为;对于选项C,x2+3x+100对应的函数y=x2+3x+10的图象开口向上,由于=9-400(a0)对应的函数y=-x2+4x-a+4a(a0)的图象开口向下,由于=16-4a+4a16-42a4a=0,故其解集为.4.若集合A=x|ax2-ax+10=,则实数a的取值范围是()A.a|0a4B.a|0a4C.a|0a4D.a|0a4答案:
3、D解析:当a=0时,满足条件.当a0时,由集合A=x|ax2-ax+10,=a2-4a0,得0a4.综上,可知0a4.5.已知不等式x2-2x-30的解集为A,不等式x2+x-60的解集为B.若关于x的不等式x2+ax+b0的解集为AB,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.3答案:A解析:由题意得,A=x|-1x3,B=x|-3x2,所以AB=x|-1x2.由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,所以a+b=-3.6.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集是R,则实数a的取值范围是()A.-,-35(1,+)B.-35,1C.-35,1D.-35,1答案:D解析:当
4、a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;当a1时,由关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集为R,可知a2-10,(a-1)2+4(a2-1)0,解得-35a1.综上,-35320,即x2-28x+1920,解得12x0,即22-62+a0,12-61+a0,解得50的解集为x|-2x0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.答案:(-,-2)解析:关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间(1,4)内有解等价于ax2-4x-2在区间(1,4)内有解.令g(x)=x2-4x-2,x(1,4),即g(x)g(4)=-2,故a0,由基本不等式得x+1x2,当且仅当x=1时
5、,等号成立,即1x+1xmax=12,故a2-a12,解得a1-32或a1+32.12.为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策,由政府协调,企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/件,出厂价为12元/件,每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500.(1)设他每月获得的利润为w(单位:元),写出他每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.(2)相关部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得的利润不少于
6、3 000元,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?解:(1)依题意可知每件的销售利润为(x-10)元,每月的销售量为(-10x+500)件,所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w=(x-10)(-10x+500).(2)由每月获得的利润不小于3000元,得(x-10)(-10x+500)3000,化简得x2-60x+8000,解得20x40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元,所以20x25.设政府每个月为他承担的总差价为p(单位:元),则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1000.由20x25,得500-20x+1000600.故政府每个月为他承担的
7、总差价的取值范围为500,600.13.解关于x的不等式ax2-22x-ax(a0).解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-20.当a=0时,原不等式化为x+10,解得x-1.当a-1,即a-2时,解得-1x2a;当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1;当2a-1,即-2a0时,解得2ax-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为x|x-1;当-2a0时,不等式的解集为x2ax-1;当a=-2时,不等式的解集为x|x=-1;当a0恒成立,则b的取值范围是()A.-1b2C.b2D.不能确定答案:C解析:由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即a2=1,故a=2
8、.又可知f(x)在区间-1,1上单调递增,故当x-1,1时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.当x-1,1时,f(x)0恒成立等价于b2-b-20,解得b2.15.对任意x-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.答案:(-,1)解析:函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴为直线x=-k-42=4-k2.当4-k26时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)(-1)+4-2k0,解得k0,即k21,即k0,即k1.综上可知,当k1时,对任意x-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2
9、k的值恒大于零.16.已知关于x的不等式(a+1)x-3x-11.(1)当a=1时,解该不等式;(2)当a为任意实数时,解该不等式.解:(1)当a=1时,原不等式可化为2x-3x-11,即x-2x-10,可化为(x-2)(x-1)0,解得1x2,故原不等式的解集为(1,2).(2)原不等式可化为ax-2x-10,即(ax-2)(x-1)0,当a0时,不等式的解为x1;当a=0时,原不等式可化为x-10,即x1;当a0时,原不等式可化为x-2a(x-1)0,若0a2,则不等式的解为1x2,则不等式的解为2ax1.综上,当a0时,不等式的解集为-,2a(1,+);当a=0时,不等式的解集为(1,+);当0a2时,不等式的解集为2a,1.
