1、考点规范练29数学归纳法一、基础巩固1.对于不等式n2+nn+1(nN*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+24时,f(n)=(用n表示).5.用数学归纳法证明:1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n(nN*).6.已知nN*,Sn=(n+1)(n+2)(n+n),Tn=2n13(2n-1).(1)求S1,S2,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.三、探究创新7.设
2、数列an的前n项和为Sn,且(Sn-1)2=anSn(nN*),设bn=(-1)n+1(n+1)2anan+1(nN*),数列bn的前n项和为Tn.(1)求S1,S2,S3的值;(2)猜想数列an的前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明;(3)求数列Tn的通项公式.考点规范练29数学归纳法1.D在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.2.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即有1+12+13+14+12k-1k,那么当n=k+1时,左边=1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1k+12k+1
3、2k+1+12k+1-1,又12k+12k+1+12k+1-112k2k=1,即1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1k+1,即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意nN*,1+12+13+14+12n-1n都成立.3.证明(1)当n=1时,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-231=-5,即等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-23k,那么当n=k+1时,由2xk+1+3yk=7,得xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-23k)2=4+23k+12=2+3k+1;由6xk+yk+1=13,得
4、yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-23k+1;故当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-23n对一切nN*都成立.4.512(n+1)(n-2)由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n4),则f(n)-f(3)=3+4+(n-1),故f(n)=12(n+1)(n-2).5.证明(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,等式成立,即1-1
5、2+13-14+12k-1-12k=1k+1+1k+2+12k,那么当n=k+1时,1-12+13-14+12k-1-12k+12(k+1)-1-12(k+1)=1k+1+1k+2+12k+12k+1-12k+2=1k+2+12k+12k+1+1k+1-12k+2=1k+2+1k+3+12k+1+12k+2=1(k+1)+1+1(k+1)+2+12(k+1)-1+12(k+1),根据(1)(2)可知,等式对于任何nN*都成立.6.解(1)S1=T1=2,S2=T2=12,S3=T3=120.(2)猜想:Sn=Tn(nN*).证明:当n=1时,S1=T1=2,猜想成立.假设当n=k(kN*,且k
6、1)时,猜想成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),那么当n=k+1时,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)2k(2k+1)(2k+2)=2k13(2k-1)k+1(2k+1)(2k+2)=2k+113(2k-1)(2k+1)=Tk+1,即当n=k+1时,猜想也成立.由可知,猜想对于任何nN*都成立.7.解(1)由(Sn-1)2=anSn,令n=1,则(S1-1)2=S12,解得S1=12;当n2时,由an=Sn-Sn-1,得(Sn-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn=12-Sn-1;令n=2,
7、得S2=23;令n=3,得S3=34.即S1=12,S2=23,S3=34.(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn=nn+1(nN*).下面用数学归纳法证明:当n=1时,S1=12,11+1=12,猜想成立.假设当n=k(kN*)时,猜想成立,即Sk=kk+1,那么当n=k+1时,由(1)知Sk+1=12-Sk=12-kk+1=k+1k+2=k+1(k+1)+1,即当n=k+1时,猜想也成立.由可知,猜想对于任何nN*都成立.(3)由(2)知a1=12.当n2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),且a1=12符合上式,即an=1n(n+1).又bn=(-1)n+1(n+1)2anan+1,所以bn=(-1)n+1(n+1)21n(n+1)1(n+1)(n+2)=(-1)n+1n(n+2)=(-1)n+121n-1n+2.当n为偶数时,Tn=121-13-12-14+13-15-14-16+1n-1-1n+1-1n-1n+2=121-1n+1-12+1n+2=1212-1(n+1)(n+2);当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=1212-1n(n+1)+12(1n-1n+2)=1212+1(n+1)(n+2).综上可得Tn=1212+(-1)n+1(n+1)(n+2).
