1、考点规范练15利用导数研究函数的单调性一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)2.若函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增B.在区间(1,3)内,f(x)单调递减C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增D.当x=2时,f(x)取到极小值3.函数f(x)=x2-ln 2x的单调递减区间是()A.0,22B.22,+C.-,-22,0,22D.-22,0,0,224.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)在R上为增函数
2、的充要条件是()A.b2-4ac0B.b0,c0C.b=0,c0D.b2-3ac05.(多选)下列函数中,在区间(-,+)上为单调递增函数的有()A.f(x)=x4B.f(x)=x-sin xC.f(x)=xexD.f(x)=ex-e-x-2x6.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k0).(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为;(2)若f(x)在区间(0,4)内单调递减,则实数k的取值范围是.7.已知函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx(a1).(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性
3、.8.设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间3,+)内单调递减,求a的取值范围.二、综合应用9.已知函数f(x)=m3x3+2x2-x在区间13,+内存在单调递增区间,则m的取值范围为()A.0,+)B.-4,+)C.-3,+)D.-119,+10.(多选)定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)+xf(x)f(1)B.2ef(2)0D.f(-1)011.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在区间t,t+1上不单调,则t的取值范围是.12.已
4、知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.13.若函数g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性.三、探究创新14.(多选)若函数f(x)在定义域D内的某个区间I上单调递增,且F(x)=f(x)x在区间I上也单调递增,则称y=f(x)在区间I上“一致单调递增”.已知f(x)=x+exx,若函数f(x)在区间I上“一致单调递增”,则区间I可能是()A.(-,-2)B.(-,0)C.(0,+)D.(2,+)15.定
5、义在区间(0,+)内的函数f(x)满足f(x)0,且当x(0,+)时,2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,其中f(x)为f(x)的导函数,则()A.116f(1)f(2)18B.18f(1)f(2)14C.14f(1)f(2)13D.13f(1)f(2)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.C由题图可知在区间-2,-32内,f(x)0,故在区间(1,3)内,f(x)不单调递减;当x=2时,f(x)取到极大值;f(x)0在区间(4,5)内恒成立,故f(x)在区间(4,5)内单调递增.故选C.3.A由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=
6、2x-1x=2x2-1x,由f(x)0,得x0,2x2-10,解得00,3a0.又f(x)在R上为增函数,f(x)0在R上恒成立,=(2b)2-43ac0,即b2-3ac0.5.BDA选项,由f(x)=x4,得f(x)=4x3,当x0时,f(x)=4x30,f(x)单调递增;当x0时,f(x)=4x3-1时,f(x)0,f(x)单调递增;当x-1时,f(x)0),由题意知f(4)=0,解得k=13.(2)f(x)=3kx2+6(k-1)x(k0),由题意知f(4)0,解得k13.又k0,故01,则当x(1,a)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;综上可知,当a=1时,函数f(x)在区间(0,
7、+)内单调递增,当a1时,函数f(x)在区间(1,a)内单调递减,在区间(a,+),(0,1)内单调递增.8.解(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,从而f(x)图象在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0,解得x
8、1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366.当xx2时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)单调递减.由f(x)在区间3,+)内单调递减,知x2=6-a+a2+3663,解得a-92,故a的取值范围为-92,+.9.Cf(x)=mx2+4x-1,由题意可知mx2+4x-10在区间13,+内有解.当m0时,二次函数的图象开口向上,即mx2+4x-10在区间13,+内有解恒成立;当m0,m9+43-10,即16+4m0,m9+130,解得-3m0.综上所述,m-3.10.ACD构造函数F(x)=xf(x)ex,因为F(x)=exf(x)+xf(x)-xexf(x)(ex)2=f(x)+x
9、f(x)-xf(x)ex1,所以F(2)F(1),即2f(2)e2f(1)e,即2f(2)ef(1),故A符合题意,B不符合题意;因为F(1)F(0),即f(1)e0,所以f(1)F(0),即-f(-1)e-10,所以f(-1)0,故D符合题意.11.(0,1)(2,3)由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x.由f(x)=0,得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0).当a=0时,g(x)=-x-1x.由g
10、(x)0,解得0x1,由g(x)1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减;当a0时,令g(x)=0,得x=1或x=12a,若12a12,则由g(x)0,解得x1或0x12a,由g(x)0,解得12ax1,即0a0,解得x12a或0x1,由g(x)0,解得1x12a,即函数g(x)在区间(0,1),12a,+内单调递增,在区间1,12a内单调递减;若12a=1,即a=12,则在区间(0,+)内恒有g(x)0,即函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.综上可得,当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减;当0a12时,函数g(x)
11、在区间0,12a内单调递增,在区间12a,1内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.14.ADf(x)=x+exx,则f(x)=x2+ex(x-1)x2;F(x)=f(x)x=1+exx2,则F(x)=ex(x-2)x3.当x(-,-2)时,f(x)=x2+ex(x-1)x2x2+(x-1)x20,函数f(x)单调递增,F(x)=ex(x-2)x30,函数F(x)单调递增,故A满足;f-12=14-32e-12140,故B不满足;F(1)=-e0,F(x)=ex(x-2)x30,故D满足.15.B令g(x)=f(x)x2,x(0,+),则g(x)=xf(x)-2f(x)x3.x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,00,函数g(x)在区间(0,+)内单调递增,f(1)10,f(1)f(2)14.令h(x)=f(x)x3,x(0,+),则h(x)=xf(x)-3f(x)x4.x(0,+),2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,h(x)=xf(x)-3f(x)x4f(2)8.又f(x)0,18f(1)f(2).综上可得,18f(1)f(2)14,故选B.
