1、模块综合测评(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若向量a(1，0，z)与向量b(2，1，2)的夹角的余弦值为，则z()A0 B1C1D2A由题意可知cosa，b，解得z0，故选A2已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E，F分别是AD，DC的中点，则()A1B1CDB如图所示，所以()22cos 601，故选B3若A(2，3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为()ABC2D2A由，解得m4若P(2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A2xy50B2xy3
2、0Cxy10Dxy30D圆心C(1，0)，kPC1，则kAB1，AB的方程为y1x2，即xy30，故选D5双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()ABCDA抛物线y24x的焦点为(1，0)，故双曲线的一个焦点是(1，0)，所以mn1，且2，解得m，n，故mn6阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积已知椭圆C：1(ab0)的面积为8，直线l过椭圆C的两个顶点，且椭圆的中心到直线l的距离为，则椭圆C的方程为()A1B1
3、Cy21D1D依题意，8ab，故ab8不妨设直线l：1，即bxayab0，则椭圆的中心到直线l的距离为，解得a2b234，联立，解得a4，b，故椭圆C的方程为1故选D7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()ABCDAB1B平面ABCD，BCB1是B1C与底面所成角，BCB160C1C底面ABCD，CDC1是C1D与底面所成的角，CDC145连接A1D，A1C1(图略)，则A1DB1CA1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角不妨设BC1，则CB1DA12，BB1CC1CD，C1D，A1C1
4、2在等腰A1C1D中，cosA1DC18在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ()ABCDA建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，(a，a，0)，(a，0，a)设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则可得n(1，1，2)da二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9已知直线l1：xmy10，l2：(m2)x3y30，则下列说法正确的是()A若l1l2，则m1或m3B若l1l2，
5、则m3C若l1l2，则mD若l1l2，则mBD直线l1l2，则3m(m2)0，解得m3或m1，但m1时，两直线方程分别为xy10，3x3y30即xy10，两直线重合，只有m3时两直线平行，A错，B正确；l1l2，则m23m0，m，C错，D正确故选BD10在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0若直线yk(x1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A1B2C3D4AB圆C的方程为x2y24x0，则圆心为C(2，0)，半径r2设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PCr2，圆心到直线yk(x1)的距离小于或等于PC，即2，
6、解得k28，可得2k2，结合选项，实数k的取值可以是1，211将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，则下列结论正确的是()AACBDBACD是等边三角形CAB与平面BCD所成的角为90DAB与CD所成的角为60ABD如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AOBD，COBD，又AOCOO，BD平面AOC，又AC平面AOC，ACBD，A正确；ACAOADCD，ACD是等边三角形，B正确；易知AO平面BCD，ABD是AB与平面BCD所成的角，为45，C错误；，不妨设AB1，则()2222，1121222cos，cos，AB与CD所成的角为60，D正确故选ABD12设抛物线C：y2
7、2px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则()A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26xBCD因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FAFB，若ABD90，可得FAAB，所以可得ABF为等边三角形，所以B正确；过F作FCAB交AB于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y23p2，|yA|p，ABF的面积为9，即(xAxB)|yA|p9，解得p3，所以抛物线的方程为y26x，所以D正确；焦点坐标为，所以焦点到准线的距离
8、为23，所以C正确；此时A点的横坐标为，所以BFAFAB6，所以A不正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13经过两条直线2xy20和3x4y20的交点，且垂直于直线3x2y40的直线方程为_2x3y20由方程组得交点A(2，2)，因为所求直线垂直于直线3x2y40，故所求直线的斜率k，由点斜式得所求直线方程为y2(x2)，即2x3y2014从原点向圆x2y212y270作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_2(数形结合法)如图，圆x2y212y270可化为x2(y6)29，圆心坐标为(0，6)，半径为3在RtOBC中可得OCB，ACB，所求劣弧长为215
9、已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC的中点，则直线PE与平面BCD所成角的正弦值为_，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为_(本题第一空2分，第二空3分)连接BE，AE，过A作AO底面BCD，垂足为O，连接OD，则ADO是直线PE与平面BCD所成角(图略)，因三棱锥ABCD的所有棱长均相等，设棱长为2，则DOBOBE，AO，sinADO直线PE与平面BCD所成角的正弦值为当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为AEO，AE，直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为sinAEO1
10、6已知点F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，|F1F2|4，点Q(2，)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为_由题意可得c2，1，a2b2c2，解得a28，b24，所以椭圆C的方程为1，可得F1(2，0)，设P(x，y)，由1，可得x282y2，则(2x，y)(2x，y)x24y2yy2y44，当且仅当y2，2时，取得最大值为四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，已知点A(2，3)，B(4，1)，ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x2y20上(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求ABC的
11、面积解(1)由题意可知，E为AB的中点，E(3，2)，且kCE1，CE所在直线方程为y2x3，即xy10(2)由得C(4，3)，|AC|BC|2，ACBC，SABC|AC|BC|218(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(2，3)，C(2，1)(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(2，2)，求直线BC截圆E所得的弦长解(1)AC的中点E(0，2)即为圆心，半径r|AC|，所以圆E的方程为x2(y2)25(2)直线BC的斜率k，其方程为y1(x2)，即3x4y20点E到直线BC的距离为d2，所以BC截圆E所得的
12、弦长为2219(本小题满分12分)在()()，|，0cos，1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中问题：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz已知点D1的坐标为(0，0，2)，E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，_，试问是否存在点E，F满足0？若存在，求的值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解由题意，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，设E(0，a，2)(0a2)，F(b，2，2)(0b2)，则(b，2
13、a，0)，(2，2，2)，(2，a，2)，(b2，0，2)，所以42(ab)，82b选择，因为()()，所以()()220，即22，即0(a0)2(20)2(b0)2(22)2(20)2，所以ab因为42(ab)0，所以ab1，故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，满足0，且82b6选择，|，即，a，因为42(ab)0，所以b，故存在点E，F，满足0，且82b5选择，(b，2a，0)，(2，2，0)，因为0cos，1，所以与不共线，所以b2a，即ab2，则42(ab)0，故不存在点E，F满足020(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与
14、椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标解(1)因为，且c，所以a，b1，所以椭圆C的方程为y21(2)由题意知P(0，t)(1t1)由得x，所以圆P的半径为当圆P与x轴相切时，|t|，解得t所以点P的坐标是21(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADDC，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD(1)求证：PQAB；(2)求二面角PQBM的余弦值解(1)证明：在PAD中，PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD因为平面PA
15、D底面ABCD，且平面PAD底面ABCDAD，所以PQ底面ABCD又AB平面ABCD，所以PQAB(2)在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形因为ADDC，所以ADQB由(1)，可知PQ平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，C(1，0)，B(0，0)，(0，0)因为AQPQ，AQBQ，所以AQ平面PQB，即为平面PQB的一个法向量，且(1，0，0)因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为，所以设平面MQB的法向量为m(x，y，z)，则即令z1，得x，y0，所以m(
16、，0，1)，所以cos，m由题意知，二面角PQBM为锐角，所以二面角PQBM的余弦值为22(本小题满分12分)已知圆C：x2y22x2y10和抛物线E：y22px(p0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OAOB求证：直线l过定点；设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程解(1)圆C：x2y22x2y10，可得圆心C(1，1)，半径r1，抛物线E：y22px(p0)的焦点F，准线方程为x，圆心C到抛物线焦点F的距离为，即有，解得p6，即抛物线方程为y212x(2)证明：设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则整理得：y212my12t0，所以y1y212m，y1y212t由于OAOB，则x1x2y1y20即(m21)y1y2mt(y1y2)t20整理得t212t0，由于t0，解得t12故直线的方程为xmy12，直线经过定点P(12，0)当CPl且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值kMPkCP，则m此时直线l的方程为xy12，即13xy1560
