1、专题28 平均数、众数和中位数【知识点总结】一、算术平均数一般地，有n个数，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.记作（读做“x拔”）.要点诠释：（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.二、加权平均数 在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次出现次，这组数据的平均数为，则=（+）（其中n=+） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平
2、均数的分母恰好为各权的和.要点诠释：（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 三、众数和中位数1.众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.2.中位数将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数.要点诠释：（1）一组数
3、据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.四、平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度.区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.五、用样本估计总体在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水
4、平.要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价.【精典例题】一、平均数、众数和中位数1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（）A99.60，99.70 B99.60，99.60 C99.60，98.80 D99.70，99.60【思路点拨】根据众数和中位数的定义求
5、解即可【答案】B；【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60故选B【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个2、若数据3.2，3.4，3.2，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是_，平均数是_【答案】3.2；3.5；解：由题意，所以众数是3.2，平
6、均数是3.5. 3、某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（）A6.2小时 B6.4小时 C6.5小时 D7小时【答案】B；解：根据题意得：（510+615+720+85）50=（50+90+140+40）50=32050=6.4（小时）故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时二、利用平均数、众数、中位数解决问题1、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用三位候选人的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩甲乙丙教学能力8
7、57373科研能力707165组织能力647284 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.【答案与解析】解：(1)甲的平均成绩为：(857064)373，乙的平均成绩为：(737172)372，丙的平均成绩为：(736584)374， 候选人丙将被录用 (2)甲的测试成绩为：(855703642)(532)76.3，乙的测试成绩为：(7357
8、13722)(532)72.2，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8， 候选人甲将被录用【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用2、小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10、30、60量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?【答案】解：小王平时测试的平均成绩（分）所以（分）答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分3、在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得12名选手所用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：1
9、40 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148（1）计算该样本数据的中位数和平均数；（2）如果一名选手的成绩是147分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩如何？【思路点拨】（1）根据中位数和平均数的概念求解；（2）根据（1）求得的中位数，与147进行比较，然后推断该选手的成绩【答案与解析】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列为：125，134，140，143，146，148，152，155，162，164，168，175，则中位数为：=150，平均数为：=151；（2）由（1）可得，中位数为150，可以估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选
10、手的成绩快于150分钟，有一半选手的成绩慢于150分钟，这名选手的成绩为147分钟，快于中位数150分钟，可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成绩好【总结升华】此题主要考查了中位数和平均数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数4、某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图零花钱数额（元）5101520学生个数（个
11、）15205请根据图表中的信息，回答以下问题. (1)求的值； (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数【答案】解：(1) 501520510(2)众数是15平均数为(51010151520205)12三、用样本估计总体1、我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图 (1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一
12、名同学家庭中一年的月均用水量再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体【答案与解析】 解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是 这组样本数据的平均数为6.8 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多 这组数据的众数是6.5 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有 这组数据的中位数是6.5(2) 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户【总结升华】本题考查的是条形统计图的
13、运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据掌握平均数、中位数和众数的计算方法2、4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：月阅读册数（本）12345被调查的学生数（人）205015105请你根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生月平均阅读册数为 本；（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是 ；（3）在平均数、中位数这两个统计量中， 更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）若向阳中学共有学生1600人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？【答案】解：（1）平均阅读册数为：=2.3（本）；（2）共有100名学生，第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数：=2；（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；（4）2.31600=3680（本）
