1、2015-2016学年安徽省铜陵市枞阳县高一(下)期末数学试卷一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1不等式2x23x+10的解集是()A,1B(,1,+)C,1D(,)1,+)2已知直线l:x+ay+2=0的倾斜角为,则直线l在y轴上的截距为()A2B2CD3在ABC中,已知a=2,b=6,B=120,则sinA的值为()ABCD4过(1,1),(2,1)两点的直线方程为()A2xy1=0Bx2y+3=0C2x+y3=0Dx+2y3=05已知等差数列an中,a1=1,S11=33,则公差d等于()ABCD6设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x4y的最小值为()A3B2C9D5
2、7点(1,1)到直线3x4y=5的距离为()ABCD8若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A1+2B +2+C2+D2+2+9已知m,n是不同的直线,、是不同的平面,下列命题中,正确的是()A若,=m,nm,则n或nB若,m,n,则mnC若m,n,则mnD若=m,nm,则n,且n10若x1,则x+1+的最小值为()A3B4C5D611数列an的前n项和为Sn,且Sn=3an,bn是an与an+1的等差中项,则数列bn的通项公式为()A43nB4()nC()n1D()n12在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ABC的面积,若acosB+bcosA=csin
3、C,S=(b2+c2a2),则B=()A90B60C45D30二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13已知点A(1,5),点B(3,1),则线段AB的中点到坐标原点的距离为14ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2a=3c,则cosB=15已知点(n,an)在直线y=2x1上,记数列的前n项和为Sn,若Sn=,则n=16如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,PA=AB,ABC=60,点F为PC的中点,则下列说法正确的序号为AF平面PBD;PA平面FBD;异面直线PA与DF的夹角为45;BDAF三、解答题(共6小题,满分70分
4、)17已知直线l:x+2y3=0,直线l1过点(2,3)(1)若l1l,求直线l1的方程;(2)若l1l,求直线l1的方程18在ABC中,a,b,c是角A、B、C的对边,且a=2csinA,ca(1)求角C的度数;(2)若a=b,且ABC的面积为,求c的值19在ABC中,已知点A(5,2)、B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标;(2)求直线MN的方程20如图,围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的一扇门,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为
5、180元/m,一扇门的造价为600元,设利用的旧墙的长度为xm,总造价为y元(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用21如图,已知三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB中点,D为PB中点,且PMB为正三角形(1)求证:DM平面APC;(2)求证:BC平面APC22已知公差不为零的等差数列an的首项a1=2,其前n项和为Sn,且a1,a2,a4成等比数列其中nN*(1)求数列an的通项公式及an(3)n的前2n项和T2n;(2)设bn=+,数列bn的前n项和为Pn,求Pn,并证明Pnan+32015-2016学年安徽省铜陵市枞阳县高一(
6、下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1不等式2x23x+10的解集是()A,1B(,1,+)C,1D(,)1,+)【考点】一元二次不等式的解法【分析】把不等式的左侧因式分解后直接求解即可【解答】解:由2x23x+10,得(2x1)(x1)0,解得x或x1所以原不等式的解集为(,1,+)故选:B2已知直线l:x+ay+2=0的倾斜角为,则直线l在y轴上的截距为()A2B2CD【考点】直线的一般式方程【分析】直线l:x+ay+2=0的倾斜角为,可得tan=,解得a再利用斜截式即可得出【解答】解:直线l:x+ay+2=0的倾斜角为,tan=,解得a=1直
7、线化为:y=x+2,该直线的纵截距等于2故选:B3在ABC中,已知a=2,b=6,B=120,则sinA的值为()ABCD【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解【解答】解:a=2,b=6,B=120,由正弦定理,可得:sinA=故选:A4过(1,1),(2,1)两点的直线方程为()A2xy1=0Bx2y+3=0C2x+y3=0Dx+2y3=0【考点】直线的两点式方程【分析】由斜率公式可得直线的斜率,可得直线的方程【解答】解:直线过两点(1,1)和(2,1),直线的斜率为k=2,直线的方程为:y1=2(x1),变形可得2x+y3=0,故选:C5已知等差数列an中,a1=1,S11
8、=33,则公差d等于()ABCD【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解:a1=1,S11=33,111+d=33,解得d=故选:A6设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x4y的最小值为()A3B2C9D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移求出最优解,代入即可求z的最小值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x4y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点B)时,直线y=的截距最大,此时z最小由得,即B(1,)此时z的最小值为z=14=110=9故选:C7点(1,1)到
9、直线3x4y=5的距离为()ABCD【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解:利用点到直线的距离公式可得:d=故选:A8若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是()A1+2B +2+C2+D2+2+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是直三棱柱,由三视图求出几何体的棱长,由图和面积公式求出各个面的面积,加起来即可求出几何体的表面积【解答】解:根据三视图可知几何体是直三棱柱,且底面是直角三角形,直角边分别是1、,斜边为,侧棱与底面垂直,侧棱长是,该几何体的表面积S=2+2+,故选D9已知m,n是不同的直线,、是不同的平面,下列命题中
10、,正确的是()A若,=m,nm,则n或nB若,m,n,则mnC若m,n,则mnD若=m,nm,则n,且n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据有关定理中的诸多条件,对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定,将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明【解答】解:A、,=m,nm,不能推出n或n直线n也可以与平面,平面都斜交,不正确;B、,m,n,m,n是平面分别与,的交线时,mn,故不正确;C、n,则n,m,mn,故正确;D、若=m,nm,则n,且n,也有可能n在,内,故不正确;故选:C10若x1,则x+1+的最小值为()A3B4C5D6【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式
11、的性质即可得出【解答】解:x1,x10则x+1+=(x1)+1+1=5,当且仅当x=3时取等号,x+1+的最小值为5故选:C11数列an的前n项和为Sn,且Sn=3an,bn是an与an+1的等差中项,则数列bn的通项公式为()A43nB4()nC()n1D()n【考点】数列递推式【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式可得an,再利用等差数列的性质可得bn【解答】解:Sn=3an,a1=S1=3,解得a1=2n2时,an=SnSn1=3an,化为:an=数列an是等比数列,首项为2,公比为an=bn是an与an+1的等差中项,bn=(an+an+1)=故选:B12在ABC中,角A,B,C所对
12、的边分别为a,b,c,S表示ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2a2),则B=()A90B60C45D30【考点】余弦定理的应用【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得sinC的值,进而求得C,然后利用三角形面积公式求得S的表达式,进而求得a=b,推断出三角形为等腰直角三角形,进而求得B【解答】解:由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B)=2RsinC=2RsinCsinCsinC=1,C=S=ab=(b2+c2a2),解得a=b,因此B=45故选C二、填空题(共4小题,每小
13、题5分,满分20分)13已知点A(1,5),点B(3,1),则线段AB的中点到坐标原点的距离为【考点】点到直线的距离公式;中点坐标公式【分析】利用中点坐标公式、两点之间的距离公式即可得出【解答】解:线段AB的中点到坐标为P,即P(1,3)|OP|=故答案为:14ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2a=3c,则cosB=【考点】余弦定理【分析】由等差数列的性质,可得a+c=2b,再由余弦定理,可得cosB【解答】解:若a,b,c成等差数列,则a+c=2b,由2a=3c,可得b=,由余弦定理可得,cosB=故答案为:15已知点(n,an)在直线y=2x1上,记
14、数列的前n项和为Sn,若Sn=,则n=9【考点】数列的求和【分析】点(n,an)在直线y=2x1上,可得an=2n1因此=,利用“裂项求和”方法即可得出Sn【解答】解:点(n,an)在直线y=2x1上,an=2n1=,数列的前n项和为Sn=+=Sn=,=,n=9故答案为:916如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,PA=AB,ABC=60,点F为PC的中点,则下列说法正确的序号为AF平面PBD;PA平面FBD;异面直线PA与DF的夹角为45;BDAF【考点】棱锥的结构特征【分析】利用线面平行、垂直的判定与性质,即可得出结论【解答】解:PA平面ABCD,PA=AB,ABC
15、=60,点F为PC的中点,AFPC,AF平面PBD不正确;连接OF,则PAOF,PA平面FBD,OF平面FBD,PA平面FBD,正确;异面直线PA与DF的夹角=直线OF与DF的夹角,FO平面ABCD,FODO,直线OF与DF的夹角不为45,不正确;BDAC,BDPA,ACPA=A,BD平面PAC,BDAF,正确故答案为:三、解答题(共6小题,满分70分)17已知直线l:x+2y3=0,直线l1过点(2,3)(1)若l1l,求直线l1的方程;(2)若l1l,求直线l1的方程【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】(1)设过点(2,3),与直线l垂直的直线
16、的方程为2xy+n=0,将点(2,3)代入,求出n,即可得到直线的方程;(2)设所求平行线l1的方程为xy+m=0,将点坐标代入,解出m,即可得到所求平行线l1的方程【解答】解:(1)设过点(2,3),与直线l垂直的直线的方程为2xy+n=0,将点(2,3)代入,得43+n=0,解之得n=1与直线l垂直的直线l1的方程为2xy1=0(2)设过点(2,3),与直线l平行的直线l1的方程为x+2y+m=0,将点(2,3)代入,得2+6+m=0,解之得m=8过点(2,3)与直线l平行的直线l1的方程为x+2y8=018在ABC中,a,b,c是角A、B、C的对边,且a=2csinA,ca(1)求角C的
17、度数;(2)若a=b,且ABC的面积为,求c的值【考点】余弦定理;正弦定理【分析】(1)根据正弦定理化简已知的等式,由sinA不等于0,两边除以sinA,得到sinC的值,由C的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数(2)由已知利用三角形面积个数可求b,进而可求a,利用余弦定理即可解得c的值【解答】解:(1)由a=2csinA,根据正弦定理得:sinA=2sinCsinA,又sinA0,得到sinC=,又C(0,),则角C的大小为或又ca,可得C为锐角,C=(2)C=,a=b,ABC的面积为,=bb,解得:b=,a=2,由余弦定理可得:c=119在ABC中,已知点A(5,2)、B(7,
18、3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标;(2)求直线MN的方程【考点】直线的一般式方程;中点坐标公式【分析】(1)边AC的中点M在y轴上,由中点公式得,A,C两点的横坐标和的平均数为0,同理,B,C两点的纵坐标和的平均数为0构造方程易得C点的坐标(2)根据C点的坐标,结合中点公式,我们可求出M,N两点的坐标,代入两点式即可求出直线MN的方程【解答】解:(1)设点C(x,y),边AC的中点M在y轴上得=0,边BC的中点N在x轴上得=0,解得x=5,y=3故所求点C的坐标是(5,3)(2)点M的坐标是(0,),点N的坐标是(1,0),直线MN的方程是=,即5x2y
19、5=020如图,围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的一扇门,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,一扇门的造价为600元,设利用的旧墙的长度为xm,总造价为y元(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用【考点】基本不等式;函数解析式的求解及常用方法【分析】(1)如图,设矩形的另一边长为am,由题意可得y=45x+180(x2)+1802a+600,利用矩形的面积可得xa=360,代入消去a可得y=225x+240(x0)
20、(2)利用基本不等式即可得出【解答】解:(1)如图,设矩形的另一边长为am,则y=45x+180(x2)+1802a+600=225x+360a+240,由已知xa=360,得,y=225x+240(x0)(2)x0,+240=11040当且仅当225x=时,即x=24等号成立当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是11040元21如图,已知三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB中点,D为PB中点,且PMB为正三角形(1)求证:DM平面APC;(2)求证:BC平面APC【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定【分析】(1)要证明线面平行,可以通过线线平行来转化,然后
21、利用中位线定理,进一步利用线面平行的判定定理进行证明(2)要证线面垂直,可以通过线线垂直和线面垂直来转化,最后利用线面垂直的判定证明结论【解答】证明:(1)已知三棱锥ABPC中M为AB中点,D为PB中点DMAPAP平面APC,DM平面APCDM平面APC(2)PMB为正三角形,D为PB中点DMPB在平面APB中,DMAPAPPBAPPCAP平面PBCAPBCACBCBC平面APC22已知公差不为零的等差数列an的首项a1=2,其前n项和为Sn,且a1,a2,a4成等比数列其中nN*(1)求数列an的通项公式及an(3)n的前2n项和T2n;(2)设bn=+,数列bn的前n项和为Pn,求Pn,并
22、证明Pnan+3【考点】数列的求和;数列递推式【分析】(1)设等差数列an的公差为d0,由a1,a2,a4成等比数列,可得=a1a4,解得d可得an于是an(3)n=2n(3)n再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得:an(3)n的前2n项和T2n(2)利用“裂项求和”方法及其数列的单调性即可得出【解答】解:(1)设等差数列an的公差为d0,a1,a2,a4成等比数列,=a1a4,(2+d)2=2(2+3d),解得d=2an=2+2(n1)=2nan(3)n=2n(3)nan(3)n的前2n项和T2n=23+2(3)2+(2n1)(3)2n1+(2n)(3)2n,3T2n=2(3)2+2(3)3+(2n1)(3)2n+(2n)(3)2n+1,4T2n=2(3)+(3)2+(3)2n(2n)(3)2n+1=2(2n)(3)2n+1=,T2n=(2)由(1)可得:Sn=n(n+1)bn=+=+=+=2+2,数列bn的前n项和为Pn=2n+2+=2n+2(1+)=2n+32,可得Pn2n+3=an+3,即Pnan+32016年8月17日