1、第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及简单应用1理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)2会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题(难点)1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法mnmn1某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有()A3种 B4种
2、C7种 D12种解析：选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，共有不同选法347种答案：C2已知x2,3,7，y31，24,4，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A1 B3 C6 D9解析：这件事可分为两步完成：第一步，在集合2,3,7中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合31，24,4中任取一个值y有3种方法根据分步乘法计数原理知，有339个不同的点答案：D3 用 1,2,3 这 3 个 数 字 可 以 写 出 没 有 重 复 数 字 的 整 数_个解析：分三类第1类为一位整数，有3个；第2类为两位整数，有12,21,13,31,23,
3、32，共6个；第3类为三位整数，有123,132,321,312,231,213，共6个因为36615，所以共可写出没有重复数字的整数15个答案：154将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_种解析：第一封信有4种投法，第二封信也有4种投法，第三封信也有4种投法，由分步乘法计数原理知，共有不同投法4364种答案：64对分类加法计数原理的三点说明(1)核心：原理的核心是“分类”，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相互独立，并且用任何一类中任何一种方法都可以单独完成这件事，因此在应用原理时一定要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的标准下进行分类；其次还要注意分类不
4、能重复，不能遗漏分类加法计数原理(2)目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即问题要求我们完成一件什么事，如何完成这件事(3)推广：原理可以推广到n类不同的方案【想一想】1.分类加法计数原理的最主要的特点是什么？提示：最主要的特点是各类中的各种方法都可以单独完成一件事2使用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？提示：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准明确，不重不漏”的原则使用分步乘法计数原理的三个关注点(1)核心：明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的(2)
5、目的：将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步方法数的积就是完成事件的方法总数分步乘法计数原理(3)推广：原理可以推广到几个不同的步骤两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏【想一想】1.选用分步乘法计数原理的依据是什么？
6、提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理2区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？提示：区分“完成一件事”是分类还是分步，关键是看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，就是分步。从高二年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人、5人、6人、7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？思路探究 本题完成的一件事是“选出一人为组长”，所以只要从四个班中选出一人就算完成任务，故应用分类加法计数原理求解分类加法计数原理自主解答 分四类：从一班中选一人，有4种选
7、法从二班中选一人，有5种选法从三班中选一人，有6种选法从四班中选一人，有7种选法共有不同选法N456722种应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：一、完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；二、分别在不同两类中的两种方法不能相同，即不重复，无遗漏1某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A3种 B6种C7种 D9种解析：分3类：买1本书，买2本书和
8、买3本书各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3317种答案：C 已知a3,4,6，b1,2,7,8，r8,9，则方程(xa)2(yb)2r2可表示不同的圆的个数有多少个？思路探究 要想确定一个圆，需确定圆心的横坐标a，纵坐标b，圆的半径r，只有当三个量都确定时，这个圆才确定，故应该用分步乘法计数原理求解自主解答 圆方程由三个量a、b、r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为34224(个)分步乘法计数原理应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算完成这件事(2)完成这件事情需要分
9、成n个步骤，每一步骤都不能完成这件事情，只有各个步骤都完成了，这件事情才能完成(3)选取的标准不同，分的“步”也不同，完成这件事的任何一种方法，都要分成若干个步骤2某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注若这个人要把符合这种要求的注全买下，至少要花多少元钱？解：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数 共 有 15107
10、 1 050(注)，故 至 少 要 花 1 0502 2100(元)(2016全国甲卷，理)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9两个基本原理的综合应用自主解答 先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F
11、.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有336(条)所以小明到老年公寓的最短路径条数为6318.答案：B用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”3如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方
12、向，从A到H有几条不同的旅游路线可走()A15 B16 C17 D18解析：要到 H 点，需从 F、E、G 走过来，F、E、G 各点又可由哪些点走过来这样一步步倒推，最后归结到 A，然后再反推过去得到如下的计算法：A至 B、C、D 的路数记在 B、C、D 圆圈内，B、C、D 分别到 F、E、G 的路数亦记在 F、E、G 圆圈内，最后 F、E、G 各个路数之和，即得至 H 的总路数如下图所示，易得有 17 条不同的线路。答案：C1本课主要学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理这两个重要的计数原理，应用这两个原理时，要仔细区分它们的不同加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系2通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(一)谢谢观看！
