1、1.1.2余弦定理教学过程推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:，.形式二:,.师 在余弦定理中,令C =90时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用. 2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C由于余弦定理中涉及到的角是以余
2、弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生 向量数量积的定义式ab=|a|b|cos,其中为A、B的夹角.师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造这一数量积以使出现.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.由向量加法的三角形法则，
3、可得,，即由向量减法的三角形法则，可得,，即.由向量加法的三角形法则,可得,，即 (1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A；与是首尾相接,则夹角为角B的补角；与是同终点,则夹角仍是角C. 师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：.师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考
4、片刻后会总结出）若ABC中，C =90，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得
5、到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下.例题剖析【例1】在ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41，解三角形（角度精确到1，边长精确到1 cm）.解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos413 600+1 156-4 0800.754 71
6、676.82,所以A41 cm.由正弦定理得sinC=0.544 0,因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C33,B=180-A-C=180-41-33=106.【例2】在ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.解：由余弦定理的推论,得cosA=0.554 3,A5620;cosB=0.839 8,B3253;C =180-(A+B)=180-(5620+3253)=9047. 补充例题：【例1】在ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意
7、在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：,A44.cosC=0.807 1,C36.B=180-(A+C)=180-(44+36)=100. (1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=8228,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利
8、用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0180之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-22.7303.696cos8228,得c4.297.cosA=0.776 7,A392.B=180-(A+C)=180-(392+8228)=5830. 通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.【例3】在ABC中,已知A=8,B=7,B=60,求C及SABC.分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角
9、A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式SABC=acsinB可以求出.若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得,A1=81.8,A2=98.2,C1=38.2,C2=21.8.由,得c1=3,c2=5,SABC=或SABC=.解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,72=c+82-28ccos60,整理得c2-8c+15=0,解之,得c1=3,c2=5.SABC=或SABC= . 在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,
10、避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1.在ABC中:(1)已知c=8,b=3,b=60,求A;(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;(3)已知a=33,c=2,b=150,求B;(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.解： (1)由a2=b2+c2-2bcc
11、osA，得a2=82+32-283cos60=49.A=7.(2)由,得.B=90.(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2332cos150=49.b=7.(4)由,得.A=45.评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1).(1)a=31,b=42,c=27;(2)a=9,b=10,c=15.解：(1)由,得0.675 5,A48.由-0.044 2,B93.C=180-(A+B)=180-(48+93)39.(2)由得0.813 3,A36.由0.763 0,B40.C=180
12、-(A+B)=180-(36+40)104.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边、一角解三角形布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.板书设计余弦定理1.余弦定理 2.证明方法: 3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法; (1)
13、已知三边求任意角;(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形 4.学生练习教学反思注重过程与方法，提升探究能力数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，而不能把结论直接抛给学生，学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程本节课从具体的实例出发，从特殊到一般，让学生经历提出问题，解决问题，初步应用等过程，采用问题串的形式引导学生进行探究活动余弦定理的发现和证明，先从学生最近发展区入手，根据初中的平面几何知识，这是符合学生的认知结构，让学
14、生自己发现余弦定理，鼓励学生独立思考，积极发表自己的见解。从平面几何法解析法向量法，层层递进，环环相扣，让学生从不同角度去认识余弦定理，对求边长的方法也有个深入的了解，有利于学生思维的扩展，充分认识到数学知识的发生、发展过程以及探究问题的方法整节课气氛活泼，教学目标得到较好的落实2关注师生间互动，提高课堂效益大部分学生对于定理教学通常都是依赖老师的讲解,被动接受教材中的证明思路,觉得理所当然,缺乏主动性,积极性.教师如何引导学生发现问题，提出问题就非常重要.教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。3创造性使用教材，优化教学结构本节课紧紧围绕余弦定理课题，对教学内容做了一些整合和补充教材例题中的角都非特殊角，需要用到计算器，过于繁杂而本节课的核心是发现定理、定理的证明方法探究和定理的应用，所以把例题作了一些改变，从而也减少学生对计算器的依赖，提高学生的计算能力
