1、第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景2会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3会利用导数的定义求函数在某点处的导数(重点、难点)4理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念(易混点)1函数的平均变化率及几何意义(1)函数的平均变化率对于函数 yf(x)，给定自变量的两个值 x1、x2，当自变量 x从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，我们把式子fx2fx1x2x1称为函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率习惯上用 x 表
2、示 x2x1，即 x_.可把 x 看做是相对于 x1 的一个“增量”，可用 x1x 代替 x2.类似地，y_于是，平均变化率可表示为yx.(2)函数平均变化率的几何意义已知 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数 yf(x)的图象上两点，则平均变化率yxfx2fx1x2x1表示割线 P1P2 的_x2x1f(x2)f(x1)斜率2瞬时速度、导数的概念(1)瞬时速度物体在_的速度称为瞬时速度一般地，设物体的运动规律是 ss(t)，则物体在 t0 到 t0t这段时间内的平均速度为stst0tst0t.如果 t 无限趋近于0 时，st无限趋近于某个常数 v，我们就说当 t 趋向于 0
3、时，st的_是 v，这时 v 就是物体在时刻 tt0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v limt0st limt0st0tst0t.某一时刻极限(2)导数的定义函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是 limx0yx limx0fx0 xfx0 x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作_，即f(x0)limx0yx limx0fx0 xfx0 x.f(x0)或y|xx01 在 平 均 变 化 率 的 定 义 中，自 变 量 x 在 x0 处 的 增 量x()A大于零 B小于零C等于零D不等于零解析：x可以大于零，也可以小于零，但不等于零故选D.答案：D2已知函数yf(x)x21
4、，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40B0.41C0.43D0.44解析：yf(2.1)f(2)0.41.答案：B3如果质点M按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为_答案：18解析：st33t2332t183t，s limt0stlimt0(183t)18.4如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是_解析：由平均变化率的定义可知，函数 yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均变化率分别为：fx2fx1x2x1，fx3fx2x3x2，fx4fx3x4x3，结合图象可以发现函数 yf(x)的平均变化率最大的一个区
5、间是x3，x4答案：x3，x4对平均变化率的三点说明(1)yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率是曲线 yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“直观化”(2)平均变化率的几何意义就是函数 yf(x)图象上两点 P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)所在直线(即割线)的斜率(3)平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 ss(t)，在时间段t1，t2上的平均速度，即 vst2st1t2t1.对瞬时变化率的两点说明(1)平均变化率与瞬时变化率的关系：区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点 x0
6、处变化的快慢；联系：当 x 趋于 0 时，平均变化率yx趋于一个常数，这个常数即为函数在 x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值(2)“x 无限趋近于 0”的含义：x 趋于 0 的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终 x0.导数与瞬时变化率的关系导数是函数 yf(x)在 xx0 及其附近函数值的改变量 y 与自变量的改变量 x 之比的极限，它是一个局部性的概念，若 limx0yx存在，则函数 yf(x)在 xx0 处有导数，否则不存在导数不同的物理量有着不同的物理意义例如，变速直线运动路程ss(t)的导数，就是瞬时速度，即s(t0)v(t0)我们也常说路程函数s(t)对
7、时间的导数就是瞬时速度导数的物理意义【想一想】1.函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率的大小与曲线yf(x)在区间x1，x2上的“陡峭”程度有什么关系？提示：平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，否则相反2平均变化率可以是零吗？举例说明提示：可以为零，如常数函数f(x)a(a为常数).3.匀速直线运动的瞬时速度和平均速度相等吗？提示：因为匀速直线运动的速度的瞬时变化率为零，所以瞬时速度和平均速度相等求函数f(x)3x22在区间x0，x0 x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值求函数的平均变化率思路探究 计算 f(x0 x)计算 f(x0 x
8、)f(x0)计算fx0 xfx0 x0 xx0 把 x02，x0.1 代入求值自主解答 f(x)3x22，f(x0)3x202.f(x0 x)3(x0 x)223x206x0 x3(x)22，f(x0 x)f(x0)6x0 x3(x)2，f(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为fx0 xfx0 x0 xx0 6x0 x3x2x6x03x.当 x02，x0.1 时平均变化率为 6230.112.3.1本题在求解过程中常错误的把(x)2 写成 x2.2求函数平均变化率的主要步骤是：(1)求 y：计算函数值的改变量 yf(x1)f(x0)；(2)求 x：计算自变量的改变量 xx1x0；(3)求平
9、均变化率：yxfx1fx0 x1x0.1把本例中区间“x0，x0 x”换成“x0 x，x0”，求f(x)在x0 x，x0上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解：f(x)3x22，f(x0 x)3x206x0 x3(x)22，f(x)在x0 x，x0上的平均变化率为fx0fx0 xx0 x0 x 6x03x，当 x02，x0.1 时的平均变化率为 623(0.1)11.7.已知f(x)x23.(1)求f(x)在x1处的导数；(2)求f(x)在xa处的导数.求函数在某点处的导数思路探究 确定函数的增量定义法 yx x0 极限 导数自主解答(1)yxf1xf1x1x23123x2x
10、，f(1)limx0f1xf1x limx0(2x)2.(2)yxfaxfaxax23a23x2ax，f(a)limx0faxfax limx0(2ax)2a.用定义求函数在 xx0 处的导数的步骤：(1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x；(3)取极限，得导数 f(x0)limx0yx.简记为：一差，二比，三趋近特别提醒：取极限前，要注意化简yx，保证使 x0 时，分母不为 0.2求函数 f(x)x1x在 x1 处的导数解：y(1x)11x111x111xx x1x，yxx x1xx111x，f(1)limx0yx limx0 111x 2.
11、求平均速度与瞬时速度若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)：s3t22，t3，293t32，0t3.求：(1)物体在 t3,5内的平均速度；(2)物体在 t1 时的瞬时速度；(3)物体的初速度 v0.思路探究(1)求st，注意解析式的选择(2)先求st，再求瞬时速度 s(1)(3)初速度 v0 为 t0 时的瞬时速度 s(0)自主解答(1)物体在 t3,5内的时间变化量为 t532，物体在 t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在 t3,5上的平均速度为st482 24(m/s)(2)物体在 t1 时的瞬时速度即为函数在 t1 处的瞬时变化率物体在 t1 附
12、近的平均变化率为st2931t32293132t3t12，物体在 t1 处的瞬时变化率为s(1)limt0st limt0(3t12)12(m/s)，即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s.(3)求物体的初速度 v0 即求物体在 t0 时的瞬时速度物体在 t0 附近的平均变化率为sts0ts0t2930t32293032t3t18，物体在 t0 处的瞬时速度为s(0)limt0st limt0(3t18)18(m/s)，即物体的初速度为18 m/s.1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤：第一步，求时间改变量 t 和位置改
13、变量 ss(t0t)s(t0)；第二步，求平均速度 vst；第三步，求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0，st无限趋近于常数 v 即为瞬时速度即 vs(t0)3一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点M在t2 s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解：ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，st4aat，在 t2 s 时，瞬时速度为 s(2)limt0(4aat)4a.4a8，a2.本节课通过大量的实例，引出了函数的平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念，体现了从特殊推向一般的思想和方法，利用导数的定义求函数在某一点的导数包含着函数平均变化率的求法，揭示了函数平均变化率与函数瞬时变化率之间的关系，其中在求yx时要注意分子与分母的一致性点击进入WORD链接谢谢观看！
