1、2.4 等比数列第2课时 等比数列(二)目标定位重点难点1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质2理解等比数列的性质3掌握等比数列的性质并能综合应用.重点：等比数列的性质难点：等比数列性质的综合应用.性质 1 通项公式的推广：anam_(n，mN*)性质 2若an为等比数列且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akal_性质 3若an，bn(项数相同)是等比数列，则an，1an，a2n，anbn，anbn 仍是等比数列qnmaman性质4在等比数列an中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1ana2an1a3an2性质5在等比数列an中，序号成等差数列的项仍成等比数列1已知等比数列an的
2、公比为正数，且 a3a92a25，a22，则 a1()A12 B 22 C 2 D2【答案】C【解析】由已知及等比数列的性质得 a3a9a262a25，q0，a6 2a5，qa6a5 2，a1a2q 2.故选 C2在等比数列an中，a1a23，a5a648，则 a9a10等于()A16 B256 C768 D163【答案】C【解析】a5a6a1q4a1q5q4(a1a2)48，又a1a23，q416.则a9a10q8(a1a2)2563768.故选C3在等比数列an中，若 a7a8a9a10158，a8a998，则 1a7 1a8 1a9 1a10_.【答案】53【解析】1a7 1a10a7a
3、10a7a10，1a8 1a9a8a9a8a9，由等比数列的性质知 a7a10a8a9，1a7 1a8 1a9 1a10a7a8a9a10a8a915898 53.4已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b13，a2 b2 7，a3 b3 15，a4 b4 35，则 an bn _(nN*)【答案】3n12n【解析】a1b13，a2b2a1db1q7，a3b3a12db1q215，a4b4a13db1q335，得，4db1(q1)，得，8db1q(q1)，得，20db1q2(q1)，解方程得d2，q3，b11，a12，anbn3n12n.【例1】在等比数列an中，已知a4a7512，a3a8
4、124且公比为整数，求a10.【解题探究】利用若mnkl，则amanakal解题等比数列性质的应用【解析】由 a4a7512，知 a3a8512.解方程组a3a8512，a3a8124，得a34，a8128或a3128，a84.q5 a8a32 或12.又 q 为整数，q2，a34，a8128.a10a3q74(2)7512.【方法规律】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，再求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知和隐含的条件各项为正数的等比数列 an中，a4a78，则log2a1log2a2log2a10()
5、A5 B10 C15 D20【答案】C【解析】由等比数列的性质，得a1a10a2a9a4a78，log2a1log2a2log2a10log2(a1a2a10)log28515.故选C【例2】已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为128，求这四个数【解题探究】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数设未知数时，可以根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷对称法设未知项【解析】设四个数为2aq a
6、，aq，a，aq，则由题意得a2q 16，2aq a aq128，解得a8，q4或a8，q4.因此所求的四个数为4,2,8,32 或 4，2，8，32.【方法规律】1.根据四个数中前三个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用 a，q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用 a，d 表示四个数2注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为 x，则第二个数为16x，则第一个数为32x x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之积为128 可列出关于 x 的方程x31632x x 128，解得 x8，则更简捷三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此
7、三个数【解析】设所求之数为 ad，a，ad，则由题设，得adaad15，a32ad1ad9，解方程组得a5，d2或a5，d10(舍去)所求三数为 3,5,7.【例3】(2019年上海期末)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？等比数列的实际应用参考
8、数据：1.192.361.004991.0451.1102.601.0049101.0501.1112.851.0049111.055【解析】(1)今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(14.9)101.05b.1年后的设备为a(110%)x1.1ax，2年后的设备为(1.1ax)(110%)x1.12a1.1xx1.12ax(11.1)，10 年后的设备为 a1.110 x(11.11.121.19)2.6ax111.11011.12.6a16x.由题设得2.6a16x1.05b2ab，解得 x a32.(2)全部更换旧设备共需12a a3216(年)【解析】设从 2016 年 1 月
9、开始，第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元，则 an1ananm%，an1an 1m%.数列an是首项 a1a，公比 q1m%的等比数列ana(1m%)n1.到 2017 年 8 月底该厂的生产总值为 a20a(1m%)201a(1m%)19(万元)【方法规律】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后_分钟，该病毒占据内
10、存64MB(1MB210kB)【答案】45【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即22n64210216，解得n15，从而复制的时间为15345分钟【示例】在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积利用等比中项性质时忽视符号判断【错解】设这个等比数列为an，其中 a11，a54，插入的三项分别为 a2，a3，a4.由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a23a1a5144，故 a32，a2a3a4a338.【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择【正解】设这个
11、等比数列为an，其中 a11，a54，插入的三项分别为 a2，a3，a4.由题意，得 a1，a3，a5 也成等比数列，则 a23a1a5144.又 a3a1q20，故 a32，a2a3a4a338.【警示】在等比数列中，隔项的符号是一致的，故本题中a32.1若an是等比数列且 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.特别地，当 mn2p 时，amana2p.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质可以减少运算量，提高解题速度2在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形，此外，解题时注意设而不求思想的运用1对任意等比数列an，下列说法一定正
12、确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列【答案】D【解析】由等比数列的性质得a3a9a0，a3，a6，a9一定成等比数列故选D2设由正数组成的等比数列公比q2且a1a2a30230，则a3a6a9a30等于()A210 B215 C216 D220【答案】D【解析】正数组成的等比数列公比 q2 且 a1a2a30230，a301 q12329a301 q435a301 2435230，a301 2405，a101 2135，a3a6a9a30a101 q25829a101 215521352155220.故选 D
13、3一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积为64，则该数列共有()A6项 B8项 C10项 D12项【答案】D【解析】设数列的通项公式为 ana1qn1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为 a1qn3，a1qn2，a1qn1.a31q32，a 31 q3n 6 4.两 式 相 乘 得 a 61 q3(n 1)8，即 a 21 qn 1 2.又a1a1qa1q2a1qn164.an1qnn1264，即(a21qn1)n642，2n642，n12.故选 D4已知等差数列an的公差不为零，a125且a1，a11，a13成等比数列，则a1a4a7a28_.【答案】20【解析】设等差数列an的公差为 d，a1，a11，a13 成等比数列，(a110d)2a1(a112d)，化为 d(2a125d)0.d0，22525d0，解得 d2.an25(n1)(2)2n27.a3n22(3n2)276n31，可知此数列是以 25 为首项，6 为公差的等差数列Sna1a4a7a28102529220.点击进入WORD链接
