1、十二函数的单调性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1(2021郑州高一检测)已知函数f在区间上单调递增，则实数a的取值范围是()A BC. D【解析】选B.根据反比例型函数的单调性可知，要使函数f在区间上单调递增，只有1a1，所以实数a的取值范围是(1，).2如果函数f(x)2x24(1a)x1在区间上是增函数，则实数a的取值范围是()A BC D【解析】选C.f(x)2x24(1a)x1，对称轴为x1a，图像开口向上，函数在(1a，)上单调递增，又函数f(x)2x24(1a)x1，在区间上是增函数，所以1a3，所以
2、a2.3已知函数f(x)的定义域为R，对任意的 x1x2，都有f(x1)f(x2)2x的解集为()A(2，) B(1，)C(0，) D(1，)【解析】选A.由题意，f(x1)f(x2)x1x2f(x1)x1f(x2)x20，因为x1，x2R且x12xf(2x1)(2x1)1，所以FF，则2x13，解得x2.4(多选题)若函数f的最小值为3，则实数a的值可能为()A1 B4C5 D8【解析】选BD.当1，即a2时，有f(x)易得，当x时，f(x)minf13，可得a8.当1，即a2时，有f(x)易得，当x时，f(x)minf13，可得a4.综上可得，所求a的值为4或8.二、填空题(每小题5分，共
3、10分)5(2021延安高一检测)若函数f(x)x24ax在1，3内不单调，则实数a的取值范围是_.【解析】由题意得：f(x)x24ax的对称轴为x2a，因为函数f(x)在1，3内不单调，所以12a3，得a.答案：6设函数f(x)x，x，则函数的最小值为_；若x，使得a2af(x)成立，则实数a的取值范围是_【解析】因为函数f(x)x，x，易得函数在为减函数，在1，3为增函数，所以f(x)minf(1)112，即函数的最小值为2，又x，使得a2af(x)成立，则a2af(x)min，即a2a2，解得：a2或a1，即实数a的取值范围是a2或a1.答案：2(，12，)三、解答题(每小题10分，共2
4、0分)7(2021兴化高一检测)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域、值域并写出其单调区间及单调性(不要求证明)；(2)判断并用定义证明函数g(x)xf(x)在区间(0，1)上的单调性【解析】(1)由x10可得x1，则f(x)的定义域为(，1)(1，).由f(x)22，可得f(x)的值域为(，2)(2，)，f(x)的单调递减区间为(，1)和(1，)；(2)g(x)在(0，1)上是减函数，证明如下：g(x)xf(x)，令x1x2且x1，x2(0，1)，g(x1)g(x2)，由于0x1x21，则x1x20，21，即x1x2(x1x2)0，即g(x1)g(x2)，故函数g(x)在(0，1)上为
5、减函数8(2021天津高一检测)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y总有f(xy)f(x)f(y)6，若x0时，f(x)6且f(2)12.(1)求f(2)的值；(2)求证f(x)在定义域R上单调递减；(3)若f(k2)f(2k)3时，求实数k的取值范围【解析】(1)令xy0，则f(0)f(0)f(0)6，所以f(0)6，令x2，y2，则f(0)f(2)f(2)6f(2)66，所以f(2)0.(2)任取x1，x2，x10，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)f(x1)f(x)6f(x)6，因为x0，所以f(x)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在定义域R上单调递减；(3)由题意，f(k2)f(k)f(2)6f(k)6，f(2k)32f(k)9，所以原不等式可化为f(k)615，令xy1，则f(2)f(1)f(1)6，所以f(1)9，令x1，y2，则f(3)f(1)f(2)615，所以f(k)f(3)，又函数f(x)在定义域R上单调递减，所以k3.
