1、蕉岭中学2018-2019学年第二学期高二级第一次质检理科数学试题2019.3命题人：古建宏 审题人：刘广泉 （总分150分，完成时间120分钟）第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知集合，则( )A B C D2下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）A.B.C. D. 3函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是( )A B C D 4等差数列an的前n项和为Sn，且a1a510，S416，则数列an的公差d为( )A1 B2 C3 D45，满足约束条件：，则的最大值为( )A
2、-3 B C3 D 46函数f(x)x2ln(ex)ln(ex)的图象大致为( )7已知函数f (x)，则f (x)在上的零点个数为 ( ) A1 B2 C3 D48点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则( )A1 B2 C3 D49 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A B C D10设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-x C.y=2xD.y=x 11已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-
3、1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是( )A. B. C.（，+）, D.(-,-9)12过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为( )A15 B12 C13 D14第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13命题：，的否定为 14若sin ，tan 0，则cos _.15已知曲线y=x3与直线y=kx(k0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k= 16一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
4、17（本小题满分10分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)= (1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.18（本小题满分12分）已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明19（本小题满分12分）设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.20（本小题满分12分）四棱锥的底面为直角梯形，为正三角形.（1）点为棱上一点，若平面，求实数的值；（2）若，求二面角的余弦值.21（本小题满
5、分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，且离心率为，为椭圆上任意一点，当时，的面积为1. （1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线，分别与椭圆交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.22（本小题满分12分）、已知函数（1）求函数的极值。（2）若曲线上总存在不同两点，使得曲线在两点处的切线互相平行，证明：。高二级第一次质检理科数学参考答案一、选择题1-5: ABBBC 6-10: ABDDD 11、12：BB二、填空题13. 14. 15. 4 16. 三、解答题17解(1)由.题设及A+B+C=,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B
6、).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.5分(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2. .10分18解(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+,因此an的通项公式为an=.6分(2)由(1)知.因为当n1时,3n-123n-1,所以.于是+1+=.所以+.12分.19. 解(1)因为f(x)=x
7、ea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b. 2分依题设,解得a=2,b=e. 5分(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+). 12分20（1）因为平面SDM，平面ABCD，平面SDM 平面ABCD=DM，所以，因
8、为,所以四边形BCDM为平行四边形，又,所以M为AB的中点.因为，.5分（2）因为， ，所以平面，又因为平面，所以平面平面，平面平面，在平面内过点作直线于点，则平面， 在和中，因为，所以，又由题知，所以所以，以下建系求解.以点E为坐标原点，EA方向为X轴，EC方向为Y轴，ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系，则， ，设平面的法向量，则，所以，令得为平面的一个法向量， 同理得为平面的一个法向量， ， 因为二面角为钝角，所以二面角余弦值为.12分21解：（1）设由题， 解得，则，椭圆的方程为. 4分（2）设，当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得，则直线的斜率为，直线的斜率为，当直线的斜率不存在时，同理可得. 当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，则由消去y可得：，又，则，代入上述方程可得，则，设直线的方程为，同理可得，直线的斜率为，直线的斜率为，.所以，直线与的斜率之积为定值，即. 12分22解：、函数的定义域为，当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； ，；当时，函数无极值；当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； ，；综上可得：略、， ，存在，使得，当时，当且仅当时取等号， 故存在，使得。12分
