1、第一节函数及其表示【考纲下载】 1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：AB按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称f：AB为从集合A到集合B的一个函数对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB
2、是一个映射2.函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数yf(x)，xA，其中，(1)定义域：自变量x的取值的集合A.(2)值域：函数值的集合f(x)|xA3函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数1函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可2函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？提示：不一定3已知函数f(x)与g(x)(1)若它们的定义域和值域分别
3、相同，则f(x)g(x)成立吗？(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f(x)g(x)成立吗？提示：(1)不成立；(2)成立1下列各图形中是函数图象的是()解析：选D由函数的定义可知选项D正确2下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)解析：选A对于A，g(x)|x|，且定义域相同，所以A项表示同一函数；对于B、C、D，函数定义域都不相同3(2013江西高考)函数y ln(1x)的定义域为()A(0,1) B0,1) C(0,1 D0,1解析：选B要使函数yln(1x)有意义，需即0x且x1.(2)因
4、为函数f(x21)的定义域为0,3，所以1x218，故函数yf(x)的定义域为1,8答案(1)D(2)1,8【互动探究】本例(2)改为：f(x)的定义域为0,3，求yf(x21)的定义域解：因为f(x)的定义域为0,3，所以0x213，即1x24，解得1x2或2x1，故函数yf(x21)的定义域为2，11,2 【方法规律】1简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可2抽象函数的定义域(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出(2)若已知函数f(g(x)的定义域
5、为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域1(2014咸阳模拟)如果函数f(x)ln(2xa)的定义域为(，1)，则实数a的值为()A2 B1 C1 D2解析：选D2xa0，x1时，1log2x2，解得x，又因为x1，所以x1.故x的取值范围是0，)(3)当1a1，即a0时，1a1，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，解得a(舍去)；当1a1，即a0时，1a1，由f(1a)f(1a)，得2(1a)a(1a)2a，解得a，符合题意综上所述，a.答案(1)B(2)D(3)分段函数问题的常见类型及解题策略(1)求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套
6、”的函数值，要从最内层逐层往外计算(2)求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小(3)解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提(4)求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程(5)奇偶性利用奇函数(偶函数)的定义判断1(2014南平模拟)定义ab设函数f(x)ln xx，则f(2)f()A4ln 2 B4ln 2 C2 D0解析：选D由题意可得f(x)所以f(2)f2ln 22ln0.2(2014永州模拟)设Q为有理数集，函数f(x)g(x)，则函数h(x)f(x)g(x)()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函
7、数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数解析：选A当xQ时，xQ，f(x)f(x)1；当xRQ时，xRQ，f(x)f(x)1.综上，对xR，都有f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数g(x)g(x)，函数g(x)为奇函数，h(x)f(x)g(x)f(x)(g(x)f(x)g(x)h(x)，函数h(x)f(x)g(x)是奇函数又因为h(1)f(1)g(1)，h(1)f(1)g(1)1，h(1)h(1)，函数h(x)不是偶函数综上可知，h(x)是奇函数但不是偶函数3(2014日照模拟)已知函数f(x)2x，且g(x)则函数g(x)的最小值是_解析：因为g(x)所以函数g(x)在(0，)上单调递增，
8、在(，0)上单调递减，故函数g(x)的最小值为g(0)200.答案：0课堂归纳通法领悟4个准则函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)yx0要求x0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.4种方法函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法具体内容见例2方法规律4个注意点求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化(3)当一个函数由两个或两个以上代
9、数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接 数学思想(一)分类讨论在分段函数中的应用由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现典例(2014西城模拟)设函数f(x)若f(2)f(0)，f(1)3，则方程f(x)x的解集为_解题指导本题可由条件f(2)f(0)及f(1)3求出f(x)的解析式，但在解方程f(x)x时应分x0和x0两种情况讨论解析当x0时，f(x)x2bxc，
10、因为f(2)f(0)，f(1)3，则解得故f(x)当x0时，由f(x)x，得x22x2x，解得x2或x1(10，舍去)当x0时，由f(x)x，得x2.所以方程f(x)x的解集为2,2答案2,2题后悟道解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a()A3 B3 C1 D1解析：选D因为f(1)1，所以f(a)1，当a0时，1，所以a1；当a0 B
11、x|x1 Cx|x1或x0 Dx|0x1解析：选B要使函数ylg有意义，需解得x1.2设函数f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)的解析式是()A2x1 B2x1 C2x3 D2x7解析：选B因为g(x2)f(x)2x32(x2)1，所以g(x)2x1.3下列各组函数表示相同函数的是()Af(x)，g(x)()2 Bf(x)1，g(x)x2Cf(x)g(t)|t| Df(x)x1，g(x)解析：选Cg(t)|t|4已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a等于()A. B. C2 D9解析：选Cf(0)2012，f(f(0)f(2)42a，所以42a4a，即a2.5(2014南昌模拟
12、)具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是()A B C D解析：选B对于，f(x)x，fxf(x)，满足题意；对于，ff(x)f(x)，不满足题意；对于，f即f故ff(x)，满足题意6(2014安康模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(3)的值为()A1 B2 C2 D3解析：选Df(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.7函数yf(x)的定义域为2,4，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域为_解析：由题意知解得2x2.答案：2,28设f(x)g(x)则f(g()的值为_解析：是无理
13、数，g()0，f(g()f(0)0.答案：09已知函数f(x)则不等式f(x)0的解集为_解析：画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x轴下方时f(x)0，此时x的取值范围是x|x1且x1答案：x|x0时，g(x)x1，故f(g(x)(x1)21x22x；当x1或x0，故g(f(x)f(x)1x22；当1x1时，f(x)1.解：(1)0c1，0c21，知当0x1，解得x；当x1，解得x1的解集为.冲击名校1设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：()Tf(x)|xS；()对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”以下
14、集合对不是“保序同构”的是()AAN*，BNBAx|1x3，Bx|x8或0x10CAx|0x1，BRDAZ，BQ解析：选D对选项A，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，应排除A；对选项B，取f(x)所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同构”的，应排除B；对选项C，取f(x)tan(0x1)，所以Ax|0x1，BR是“保序同构”的，应排除C.2规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54.对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，进一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，则f1(x)_，f2(x)_；(2)若f1(x)1，f2(x)3同时满足，则x的取值范围为_解析：(1)x时，4x，f1(x)1.g(x)，f2(x)f1g(x)f133.(2)f1(x)4x1，g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.x.答案：(1)13(2)
