1、第2讲函数的应用1(2016天津改编)已知函数f(x)sin2sin x (0，xR)若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，所以，所以01.当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2 (kZ)，即k(kZ)当k0时，；当k1时，.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，00，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_答案解析由yloga(x1)1在0，)上递减，得0a2，即a时，由x2(4a3)
2、x3a2x(其中x0)，得x2(4a2)x3a20(其中x0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_答案(3，)解析如图，当xm时，f(x)|x|；当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m0，m23m0，解得m3.4某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车
3、型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时答案(1)1 900(2)100解析(1)当l6.05时，F1 900.当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时(2)当l5时，F2 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时比(1)中的最大车流量增加100 辆/时1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题.热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)
4、f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标例1(1)函数f(x)log2x2的零点个数为_(2)函数f(x)3xx24的零点个数是_答案(1)2(2)2解析(1)令flog2x20，log2x2，分别画出左右两个图象如图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点(2)f(x)3xx24的零点个数，即方程3x4x2的根的个数，即函数y3x()x与y4x2图象的
5、交点个数作出函数y()x与y4x2的图象，如图所示，可得函数f(x)的零点个数为2.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解跟踪演练1(1)函数f(x)x24x52ln x的零点个数为_(2)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为_答案(1)2(2)3解析(1)由题意可得x0，求函数f(x)x24x52ln x的零点个数，即求方程ln x(x2
6、)2的解的个数，数形结合(图略)可得，函数yln x的图象和函数y(x2)2的图象有2个交点，则f(x)x24x52ln x有2个零点(2)函数g(x)的零点个数，即函数yf(1x)的图象与直线y1的交点个数令t1x，则f(t)作出函数yf(t)的图象，与直线y1有3个交点，故g(x)有3个零点热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例2(1)已知函数f(x)函数g(x)2f(x) ，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)g(x)kx1，若方程f
7、(x)g(x)0有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_答案(1)(2,3(2)(，1)(1，e1解析(1)由题意当yf(x)g(x)20时，即方程f(x)1有4个解. 又由函数ya与函数y(xa)2的大致形状可知，直线y1与函数f(x)的左右两支曲线都有两个交点，如图所示. 那么，有即解得2a3.(2)画出函数f(x)的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g(x)kx1的图象过A(1，e)，B(2，e)时直线斜率k1e1，k2，并且当k1时，直线yx1与曲线yex相切于点(0,1)，则得到当函数f(x)与g(x)图象有两个交点时，实数k的取值范围是(，1)(1，e1. 思维升华(1)方程
8、f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)若函数f(x)在R上有三个不同的零点，则a的取值范围是_答案(1)(，2ln 22(2)8，)解析(1)f(x)ex2，当x(，ln 2)时，f(x)0，所以f(x)minf(ln 2)22ln 2a.由于所以f(x)有零点当且仅当22ln 2a0，所以a2ln 22.(2)当x0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等
9、于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab (a，b为实常数)(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值解(1)当20x180时，由得故q(x)(2)设总利润f(x)xq(x)，由(1)得，f(x)当0x20时，f(x)126 000，f(x)在(0,20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80.当20x0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)180时，f(x)0.答当x等于80元时，总利润取得最大值240
10、000元思维升华(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法跟踪演练3(1)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为_元(2)某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费15
11、0元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为_元答案(1)3 800(2)4 050解析(1)假设个人稿费为x元，所缴纳税费为y元，由已知条件可知y为x的函数，且满足y共纳税420元，所以有0.14(x800)420x3 800.(2)设每辆车的月租金为x(x3 000)元，则租赁公司月收益为y(100)(x150)50，整理得y162x21 000(x4 050)2307 050.所以当x4 050时，y取最大值为307 050，即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元.1函数f(x)2sin xx1的零点个数
12、为_押题依据函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法答案5解析令2sin xx10，则2sin xx1，令h(x)2sin x，g(x)x1，则f(x)2sin xx1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题h(x)2sin x的最小正周期为T2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)g(1)，h()g()，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_押题依据利用函数零点个数可以得到函数图
13、象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想答案1,2)解析g(x)f(x)2x要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助数轴，可得1a0，f(3)0，f(5)1)是函数f(x)ln x的一个零点，若a(1，x0)，b(x0，)，则f(a)_0，f(b)_0.答案解析由题意得f(x0)0，又yln x在(1，)上单调递增，y在(1，)上单调递增，故f(x)在(1，)上单调递增又1ax0b，所以f(a)f(x0)f(b)，即f(a)00时，令f(x)|ln x|10，解
14、得xe或，均满足题意；当x0时，令f(x)x22x30，解得x1(x3舍去)所以函数yf(x)的零点的个数为3.5已知定义域为R的函数f(x)若关于x的方程f2(x)bf(x)c0有3个不同的实根x1，x2，x3，则xxx_.答案5解析作出f(x)的图象，如图所示由图象知，只有当f(x)1时有3个不同的实根；关于x的方程f2(x)bf(x)c0有3个不同的实根x1，x2，x3，必有f(x)1，从而x11，x22，x30，故可得xxx5.6若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案(0,1解析当x0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函
15、数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0a1，所以实数a的取值范围是00，b0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_.答案4解析由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点9某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升此驾驶员至少要过_小时后才能开车(不足1小时部分
16、算1小时，结果精确到1小时)答案4解析因为0x1，所以2x21，所以525x251，而520.02，又由x1，得x，得x，所以x4.故至少要过4小时后才能开车10随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y(2ax)(b0.01bx)0.4bxx22(a7
17、0)x2ab.依题意得2ax2a，所以0x.又1402a420，即70a210.当0a70，即70，即140a210时，x，y取到最大值故当70a140时，公司应裁员(a70)人，经济效益取到最大；当140a0(其中f(x)为函数f(x)的导函数)则方程f(x)|sin x|在2，2上的根的个数为_答案8解析由(1)知，函数f(x)为偶函数；由(2)知，f(x)1f(x)，故f(x2)1f(x)11f(x)f(x)，所以f(x)是周期函数，其周期为2.由(3)知，函数f(x)的图象在y0与y1之间由(4)知，当x时，f(x)0，故函数f(x)在上单调递增综上，当x0，时，f(x)|1x|，画出
18、函数f(x)和y|sin x|在2，2上的图象，如图所示，两函数在2，2上共有8个交点，所以方程f(x)|sin x|在2，2上共有8个零点12某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据分析，这个经营部定价在_元/桶才能获得最大利润答案11.5解析设每桶水的价格为元，公司日利润y元，则：y20040x2440x280，400，则函数h(x)f(x)2有2个零点其中正确命题的序号为_答案解析当a0时，f(x)|x2b|显然是偶函数，故正确由f(0)f(2)，得|b|44ab|，而f(x1)|(x1)22a(x1)b|x2(22a)x12ab|，f(1x)|(1x)22a(1x)b|12xx22a2axb|x2(2a2)x12ab|.f(x1)f(1x)，|b|44ab|不能判定a1，f(x)的图象不关于直线x1对称，故错误f(x)|(xa)2ba2|(xa)2ba2在区间a，)上是增函数，故正确如图所示，当a2b20时，函数f(x)的图象与直线y2有4个交点，故h(x)|(xa)2ba2|2有4个零点，故错误
