1、3.3.4 两条平行直线间的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们已学习了两点间的距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性,我们假设A、B0).图1推进新课新知探究提出问题已知点P(
2、x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的,若A、B中有一个为零,公式是否仍然成立?回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离)活动:请学生观察上面三种特殊情形中的结论:()x0=0,y0=0时,d=;()x00,y0=0时,d=;()x0=0,y00时,d=.观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点P(x0,y0),d=?学生应能得到猜想:d=.启发诱导:当点P不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置,从而可利用前面的公
3、式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把一般情形转化为特殊情形来处理)证明:设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0,令y=0,得P(,0).PN=. (*)P在直线l1:Ax+By+C1=0上,Ax0+By0+C1=0.C1=-Ax0-By0.代入(*)得|PN|=,即d=,.可以验证,当A=0或B=0时,上述公式也成立.引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.证明:设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点,则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax
4、0+By0=-C2,d=.讨论结果:已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离公式为d=.当A=0或B=0时,上述公式也成立.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.应用示例例1 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:( 1)根据点到直线的距离公式得d=.(2)因为直线3x=2平行于y轴,所以d=|-(-1)|=.点评:例1(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2)体现了求点到直线距离的灵活性,并没有局限于公式.变式训练 点A(a,6)到直线3x4y=2的距离等于4,求a
5、的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积.解:设AB边上的高为h,则SABC=|AB|h.|AB|=,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0.点C到x+y-4=0的距离为h=,因此,SABC=5.点评:通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点,故可设点斜式方程,再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为xy1=0或7xy5=0.例3
6、求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练 求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离.答案:.拓展提升问题:已知直线l:2x-y+1=0和点O(0,0)、M(0,3),试在l上找一点P,使得|PO|-|PM|的值最大,并求出这个最大值.解:点O(0,0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O(-,),则直线MO的方程为y-3=x.直线MO与直线l:2x-y+1=0的交点P()即为所求,相应的|PO|-|PM|的最大值为|MO|=.课堂小结通过本节学习,要求大家:1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离,后者实际上可作为前者的变式应用.作业课本习题3.3 A组9、10;B组2、4.