1、高三数学 第 1 页（共 6 页）高三数学 第 2 页（共 6 页）高三数学 第 3 页（共 6 页）广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级期末考数学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色笔迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合=|2，=|=ln(2)，且=2 0，且+12+1 (+1)2=0，则20的值为（）A.18B.19C.20D.217.2 1 5的展开式中含22的项的系数为（）A.120B.60C.60D.308.已知函数()=sin+cos+12 2，若=(log12e)，=(sin 12)，=(ln3)，则，的大小关系为（）
3、A.B.C.D.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m，根据安全条例规定至少要有 2m 的安全间隙(船底与海底的距离)，已知某港口在某季节的某一天的时刻(单位：小时)与水深()(单位：m)的关系为：()=2sin6 +5(0 24)，则下列说法中正确的有（）A.相邻两次潮水高度
4、最高的时间间距为 24hB.18 时潮水起落的速度为 3 m/h C.该货船在 2：00 至 4：00 期间可以进港D.该货船在 13：00 至 17：00 期间可以进港10.如图，已知正四棱柱 1111的底面边长为 1，侧棱长为 2，点为侧棱1(含端点)上的动点，若平面与直线垂直，则下列说法正确的有（）A.直线1与平面不可能平行B.直线与平面不可能垂直C.1不可能为直角三角形D.三棱锥1 1的体积是正四棱柱体积的1611.已知()是定义在上的奇函数，()的图象关于=1 对称，当 (0，1时，()=(13)1，则下列判断正确的是（）A.()的周期为 2B.2023=1C.(+1)是偶函数D.(
5、)的值域为 1,112.已知 O 是平面直角坐标系的原点，抛物线:=14 2的焦点为，Q 两点在抛物线上，下列说法正确的是（）A.若 =5，点的坐标为(4,4)B.直线=1 与不相切C.到直线=2 的距离的最小值为 22D.若，Q 三点共线，则 =3三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取 100 名学生的测试成绩，并把测试成绩分成40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,1
6、00六组，绘制成频率分布直方图(如图所示)其中分数在90,100这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的 80%分位数约为_分高三数学 第 4 页（共 6 页）高三数学 第 5 页（共 6 页）高三数学 第 6 页（共 6 页）14.从点(2,3)射出两条光线的方程分别为：1:4 3+1=0 和2:3 4+6=0，经轴反射后都与圆()2+()2=1 相切，则圆的方程为15.已知函数 =3ln在点(1,(1)处的切线经过点(,)，0,0，则8+的最小值为16.某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为 6%，5%，4%，假设这三条生产线产品产量的比为 578
7、，现从这三条生产线上共任意选取 100 件产品，则次品数的数学期望为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）已知等差数列的前项和为，5=5，8=36，=log3()（1）求和的通项公式；（2）设数列满足=1+2，为奇数2，为偶数，求数列的前 20 项和2018.（12 分）已知锐角三角形 内角，的对应边分别为，且 cos2 3sin+2=0（1）求 sin+sin的取值范围；（2）若=2 3，求的面积的最大值19.（12 分）如图，在三棱锥 中，底面 是边长为 4 的正三角形，=，=6，三棱锥 的体积为 4 3，O 是的中点，E 是的中
8、点，点 F 在棱 AB 上，且=3（1）求证：/平面；（2）求平面和平面 ABC 所成角的余弦值20.（12 分）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本 20 元，售价 30 元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续 30 天的日销量(单位：百份)，得到统计数据如下表：日销量（单位：百份）12131415天数39126（1）记两天中销售该款新套餐的总份数为(单位：百份)，求的分布列和数学期望
9、；（2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐 27 百份、28百份两种方案中应选择哪种？21.（12 分）已知椭圆：22+22=1(0)的四个顶点围成的四边形面积为 4 2，周长为 4 6，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2），是双曲线上不同的三点，且，两点关于轴对称，的外接圆经过原点求证：直线与圆2+2=1 相切22.（12 分）已知函数()=e ，=ln +2 ，其中 e 为自然对数的底数，（1）当 0 时，函数()有极小值(1)，求；（2）证明：()恒成立；（3）证明：ln2+(ln 32)2+(ln 43)3+(
10、ln+1)ee1全科免费下载公众号高中僧课堂1广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级期末考数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CDDBDCAB二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分题号9101112答案BCDBDBCCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.9214.(+3)2+(2)2=115.616.4.85详细解答一、选择题：本题
11、共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C解：=|2=|2 0=|2，因为 =2 1，所以2=1，解得=2故选 C2【答案】D解：1=1+2i，2=2 i，复数3=3+12=3+1+2i2i=3+(1+2i)(2+i)4i2=3+5i5=3+i，又3，4在复平面内的对应点关于虚轴对称，4=3+i，故选 D3【答案】D解：=1,1，=2，=1，+2=2，(+2)2=2+4 +4 2=2+4 +4=2，=1，+2=2+2 =2 2=0，向量 与向量+2 的夹角为2，故选 D全科免费下载公众号高中僧课堂24【答案】B解：设半球的半径为，圆
12、锥母线长为，由 2=6 得=3，所以这款冰激凌的体积为：V=12 43 3+13 (2)2 2=23 33+13 32 62 32=18+9 3故选 B5【答案】D解：因为 cos138 0，得到点在第四象限，即为第四象限角，tan=cos138sin138=cos(90+48)sin(90+48)=sin48cos48=sin(48)cos(48)=tan(48)，所以=48+360，所以 tan(+18)=tan 48+360+18=tan 30=33 故选 D6【答案】C解：0，且+12+1 (+1)2=0，+1+1 (+1)=0，+1=+1，+1=+1，又 1=1，20=2019 19
13、18 32 21 1=2019 1918 32 21 1=20故选 C7【答案】A解：(2 1)5=(1)2)5的展开式中含2的项为52(1)3(2)2，(1)3的展开式中含2的项为31 2 (1)1，(2 1)5的展开式中含22的项的系数为52(2)2 31 (1)1=120故选 A8【答案】B解：=sin+cos+12 2=，函数 为偶函数，又 =sin+cos sin+=cos+1，当 0 时，0，单调递增，又函数 为偶函数，=log12e=(log2e)=(log2e)，0 sin12 1，ln3 1，且log2e ln3=1ln2 ln3=1ln2ln3ln21(ln2+ln32)2
14、ln2=1(ln62)2ln21(lne22)2ln2=0，log2e ln3 sin12 0，(log2e)(ln3)(sin12)，即 故选 B3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9【答案】BCD解：对于 A，=2=26=12，故 A 错误；对于 B，由题意，=2cos6(6)=3 cos6，18=3 cos6 18=3，故 B 正确对于C，由于该船进出港时，水深应不小于4+2=6(m)，当 6 时，货船就可以进港，即 2sin6 +5 6，sin6 12，得6+2
15、 6 56+2()，即 1+12 5+12()，又 0 24，1 5 或 13 17，即该船一天之内在港口内待的时间段为 1 时到 5 时和 13 时到 17 时，停留的总时间为 8 小时，故 C 正确，D 正确故选：BCD10【答案】BD解：对于 A，已知 ，若1/，则需1 ，当与重合时1 ，故1/可能成立，故 A 错误；对于 B，已知 ，若 成立，则需/，不合题意，故 B 正确，对于 C，当为1的中点时，在 1中，1=3，=2，1=5，满足勾股定理，则 1为直角三角形，故 C 错误；对于 D，三棱锥1 1的体积为11=11=13 12 1 2 1=13，正四棱柱的体积为1111=2，则三棱
16、锥1 1的体积是正四棱柱体积的16，故 D 正确故选 BD11【答案】BC解：对于 A，()的图象关于=1 对称，()=(2+)，又函数()为奇函数，()=()，(+2)=()，(+4)=(+2)=()，(+4)=()，函数()的周期为 4，故 A 错误；对于 B，2023=505 4+3=3=1=1=1，故 B 正确；对于 C，()的图象关于=1 对称，(+1)的图象关于=0 对称，(+1)是偶函数，故 C 正确；对于 D，当 (0,1时，()=(13)1=31 (13,1，()的图象关于=1 对称，当 1,2)时，()(13,1，又函数()为奇函数，则当 1,0)时，()1,13)，4当
17、(2,1时，()1,13)，又(0)=0，2=0=2=0，综上可得，()的值域为 1,13)0 (13,1，故 D 错误故选 BC12【答案】CD解：对于 A，由抛物线的定义易得，点的坐标为(4,4)或(4,4)，则 A 错误；对于 B，联立直线与抛物线方程 2=4=1，消去得2 4+4=0，得=0，所以直线=1 与抛物线相切，故 B 错误；对于 C，直线=1 与相切，又直线=1 与直线=2 平行，两平行直线间的距离即到直线=2 的最小距离，所求距离为：1+22=22，故 C 正确；对于 D，抛物线2=4焦点为(0,1)，易知直线的斜率存在，设直线方程为=+1，不妨设(1,1)，(2,2)，由
18、 =+12=4，得2 4 4=0，则1+2=4，12=4，=12+12=12+(1+1)(2+1)=(1+2)12+(1+2)+1=4(1+2)+42+1=3，故 D 正确故选 CD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13【答案】92解：由频率分布直方图知 0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075，由 10 (0.075+)=1 得=0.025，0.02+0.04+0.14+0.2+0.35=0.75，设该次体能测试成绩的 80%分位数约为，则由 90 0.025=0.05，得 90 25=50，=92故答案为：9214【答案】(+3)2+(
19、2)2=1解：根据对称性，两条反射光线的方程分别为1:4+3+1=0 和2:3+4+6=0依题意有4+3+142+32=13+4+642+32=1，且圆在轴上方，=3,=2，所求圆的方程为(+3)2+(2)2=1，故答案为：(+3)2+(2)2=1515【答案】6解：1=1，则切点为 1,1，又 =1 3，切线斜率为 1=2，切线方程为=2+3，又点(,)在切线上，2+=3，则8+=8+1=13(8+1)(2+)=13(10+16+)6，当且仅当16=，即=12，=2 时等号成立故答案为：616【答案】4.85解：记事件 B：选取的产品为次品，记事件1：此件次品来自甲生产线，记事件2：此件次品
20、来自乙生产线，记事件3:此件次品来自丙生产线，由题意可得 P(1)=520=0.25，P(2)=720=0.35，P(3)=820=0.4，P(B|1)=0.06，P(B|2)=0.05，P(B|3)=0.04，由全概率公式可得P(B)=P(1)P(B|1)+P(2)P(B|2)+P(3)P(B|3)=0.250.06+0.350.05+0.40.04=0.0485，从这三条生产线中任意选取 1 件产品为次品的概率为 0.0485，任意选取 100 件产品，设次品数为 X，则 XB(100，0.0485)，即 E(X)=1000.0485=4.85故答案为：4.85四、解答题：本题共 6 小题
21、，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 解：(1)设等差数列的公差为，等差数列的前项和为，5=5，8=36，1+4=581+872 =36，解得1=1，=1，2 分 =1+(1)1=，3 分 =log3()，=log3()，=34 分21+2=1(+2)=12(1 1+2)，20=113+135+11921+21+42+2010=12 11 13+13 15+119 121+(2 3+4 32+20 310)，6 分12 11 13+13 15+119 121 =12 1 121=1021，7 分令 R=2 3+4 32+20 310，则 3R=2 32+4 33+20 31
22、1，得：2R=2 3+2 32+33+310 20 311=2 3(1310)13 20 311=3+311 20 311=3 19 311，6 R=3+193112，9 分 20=1021+3+19311210 分18 解：1 cos 2 3sin +2=0 又 cos 2=1 2sin2，2sin2+3sin 3=0，即 2sin 3sin +3=0，解得 sin =3(舍去)或 sin =32，3 分 为锐角，=3，4 分 为锐角三角形，0 2，0 2，=23 ，6 2，5 分 sin+sin=sin+sin23 =sin+32 cos+12 sin=3 sin 32+cos 12=3s
23、in +6，7 分3 +6 23，sin +6 32,1，sin+sin的取值范围为32,3 8 分(2)在 中，由余弦定理可得2=2+2 2 cos，即 12=2+2 ，9 分 12+=2+2 2(当且仅当=时取等号)，12，10 分 的面积为12 sin 12 12 32=3 3，11 分 =3，故当 为等边三角时，有最大面积为 3 312 分19 1 证明：设棱的中点为，连接，O 是的中点，=12 =2，在 中，/，且=12 =1，1 分在 BC 上取一点 G，满足=3，连接，DG，在 中，由=3，/，=14 =1，/，=，四边形为平行四边形，/G3 分又 平面，平面，/平面5 分2 解
24、：依题意，O 是的中点，=，=，连接，则有 ，又 =，平面，平面 POB，又 AO平面 ABC，平面 平面 POB，且平面 平面 POB=，过 P 作的垂线，垂足为 Q，则 平面 ABC，7 =13 =13 34 42 =4 3，=3，6 分在 Rt 中，=6，=3，=3 3，是边长为 4 的正三角形，=2 3，=3，7 分以 O 为原点，OA 为轴，OB 为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0，0)，(0,2 3,0)，(0,3,3)，=(2,3,3)，=(0,3 3,3)，8 分设平面的法向量为=(，)，则 =2+3 3=0 =3 3 3=0，取=3，则=1，=3，=(3,1,3)
25、，9 分又面 ABC 的一个法向量为=(0,0,1)，10 分 cos=|=31 3+1+3=217，11 分平面和平面 ABC 所成角的余弦值217 12 分20 解：(1)根据题意可得：的所有可能取值为 24，25，26，27，28，29，30，1 分(=24)=110 110=1100，(=25)=110 310 2=350，(=26)=110 25 2+310 310=17100，(=27)=110 15 2+310 25 2=725，(=28)=310 15 2+25 25=725，(=29)=25 15 2=425，(=30)=15 15=125，4 分 的分布列为：2425262
26、72829301100350171007257254251255 分()=24 1100+25 350+26 17100+27 725+28 725+29 425+30 125=27.47 分(2)当每两天生产配送 27 百份时，利润为：(24 10 3 20)1100+(25 10 2 20)350+(26 10 1 20)17100+27 10 (1 1100 350 17100)=260.4(百元)，9 分8当每两天生产配送 28 百份时，利润为：(24 10 4 20)1100+(25 10 3 20)350+(26 10 2 20)17100+(27 10 1 20)725+28 1
27、0 1225=254.8(百元)，11 分 260.4 254.8，选择每天生产配送 27 百份12 分21(1)解：根据题意得 2=4 24 2+2=4 6，又 0，解得2=4，2=2，1 分 2=2 2=2，所以椭圆的方程为24+22=1，2 分椭圆的焦点坐标为(2,0)，长轴上两个顶点坐标为(2,0)，依题意，设双曲线:2m2 22=1(0,0)，则 =22+2=2，解得=2，3 分所以双曲线的方程是22 22=1，即2 2=2.4 分(2)证明：易知直线一定不为水平直线，设为=+，设(1,1)，(2,2)，(2,2)，联立 2 2=2=+，整理得(2 1)2+2+2 2=0，5 分则1
28、+2=221，12=2221，6 分由于外接圆过原点且关于轴对称，设为2+2+=0，7 分将(1,1)，(2,2)代入圆的方程得 12+12+1=022+22+2=0，消去得2(12+12)=1(22+22)，8 分又12=2+12，22=2+22，2(212+2)=1(222+2)，化简得 212 12=2 12，12，12=1，9 分由12=2221=1，2=2+1，10 分则原点到直线的距离=2+1=1，11 分即直线与圆2+2=1 相切12 分22(1)解：()=e (0)，令()=0，解得=ln，当 ln时，()0，当 ln时，()()恒成立即e ln +2 0 恒成立，设()=e
29、ln +2，则()=e 1+2，4 分易知()是定义域上的增函数，又 0=1 12 0，1=1e 1 0，7 分 e ln +2 0 恒成立，故结论成立.8 分（3）证明：由(2)知，e ln(+2)，令=+1，则e+1 ln(+1+2)=ln+1，e+1 (ln+1)9 分由此可知，当=1 时，e0 ln2，当=2 时，e1 (ln32)2，当=3 时，e2 (ln43)3，当=时，e+1 (ln+1)，累加得e0+e1+e2+e+1 ln2+(ln32)2+(ln43)3+(ln+1)，10 分又e0+e1+e2+e+1=1(1e)11e111e=ee1，11 分所以 ln2+(ln32)2+(ln43)3+(ln+1)ee112 分
