1、2020 年虎山中学高二第二学期中段考数学科试题 参考答案 一、选择题 1A 2D 3A 4B 5B 6B 7A 8D 9C 10A 11A 12C 二、填空 13 20 14()3,2 1518 164 三、解答题 17.（1）因为 3sinsin 2aCcA=，由正弦定理 3sinsinsinsin 2ACCA=，因为sin 22sincosAAA=，sinsin0AC，所以3cos2A=.因为0A，甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）根据题意，乙答对题的个数 X 的可能取值为 0，1，2，3，4.XB34,4()4431()0,1,2,3,444kkkP XkCk=且5YX=Y 的概率
2、分布列为：Y 0 5 10 15 20 P1256364271282764812563()55 4154E Ynp=，3175()25(1)254444D Ynpp=.19.（1）证明：AB 是圆 O 的直径，ACBC，DC平面 ABC，BC平面 ABC，DCBC，又 DCACC，BC平面 ACD，DCEB，DCEB，四边形 DCBE 是平行四边形，DEBC，DE平面 ACD，又 DE平面 ADE，平面 ACD平面 ADE.（2）当 C 点为半圆的中点时，ACBC22，以 C 为原点，以 CA，CB，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则 D（0，0，1），E（0，22，1），A（22，0，
3、0），B（0，22，0），AB=（22，22，0），BE=（0，0，1），DE=（0，22，0），DA=（22，0，1），设平面 DAE 的法向量为 m=（x1，y1，z1），平面 ABE 的法向量为 n=（x2，y2，z2），则00m DAm DE=，00n ABn BE=，即1112 202 20 xzy=，2222 22 200 xyz+=，令 x11 得m=（1，0，22），令 x21 得n=（1，1，0）.cos12632m nmnm n=.二面角 DAEB 是钝二面角，二面角 DAEB 的余弦值为26.20.（1）2K 的观测值()2220030 4570 55500012.788
4、7.875100 100 85 115391K=，所以有99.5%的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”.（2）5211115iix=，511385iiy=，213395 11 387512.09795 11374m=，751381160.1374nym=，可得 22.060.1yx=+.21.22.（1）由题意，得()()()111 1xxxfxa exe eaexe=+=+.若0a，令()0fx，得1xe；令()0fx，得1xe.故函数()yf x=在(),1e上单调递减，在()1,e+上单调递增；若0a，得1xe；令()0fx.故函数()yf x=在(),1e上单调递增，在()1,e+
5、上单调递减；若0a=，则()0f x=是常值函数，不存在单调性.综上所述，当0a 时，函数()yf x=的单调递减区间为(),1e，单调递增区间为()1,e+；当0a 即为()11xxe ex .不等式两边同时除以xe，得1xxexee，得11xxxee+.记函数()1xxxp xee+=+，则()11xxxexxepxeee=+.设()1xq xexe=.当1x 时，()110 xq xe =，所以函数()yq x=在()1,+上单调递增.所以当1x 时，()()11110q xqee=.所以()0p x，所以函数()yp x=在()1,+上单调递增.所以()()1 11311p xpeee+=+=，即11xxxee+.故()()f xg x得证.
