1、广东省茂名地区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题，60分）1.已知向量及则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量加法运算，求得.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量加法的坐标运算，属于基础题.2.命题“对，都有”的否定为（ ）A. 对，都有B. ，使得C. ，使得D. ，使得【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的定义即可得出【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对，都有”的否定为“，使得”故选：【点睛】熟练掌握全称命题与特称命题的定义是解题的关键，属于基础题3
2、.设集合，则“”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当a1时，N1，此时有NM，则条件具有充分性；当NM时，有a21或a22得到a11，a21，a3，a4，故不具有必要性，所以“a1”是“NM”的充分不必要条件，选A.4.双曲线的焦点坐标是（ ）A. ，B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.【点睛】由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.5.椭圆的离心率是（ ）A. B.
3、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可知，求出，即可求出椭圆的离心率【详解】因为椭圆中，所以，得，故选：B【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值6.已知向量.若，则x的值为（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】先求解的坐标，再利用坐标表示向量垂直，列出等式，即得解【详解】，解得.故选：A【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题7.椭圆和椭圆（）有（ ）A. 等长的长轴B. 相等的焦距C. 相等的离心率D. 等长的短轴【答案】B【解析】【分析】判断出两个椭圆的焦点所在坐标轴，计算出两者的焦
4、距，由此判断出正确选项.【详解】依题意知椭圆的焦点在y轴上，椭圆的焦点在轴上.对于椭圆有：.对于椭圆有：焦距，所以两个椭圆有相等的焦距.长轴、短轴和离心率均不相等.故选：B【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.8.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，如果，则 ( )A. 9B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为，准线方程为，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程为，可得，所以抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，所以，又因为过抛物线的焦点，且，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以
5、及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】若AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质10.已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A. B. C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】由于是弦的中点，根据点差法求出弦所在直线的斜率.【详解】设以为中点的弦的两个端
6、点分别为，所以由中点坐标公式可得，把两点坐标代入椭圆方程得两式相减可得所以，即所求的直线的斜率为.故选A项.【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.11.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】【详解】由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)x0P为椭圆上一点，1.x03x03(x02)22.2x02.的最大值在x02时取得，且最大值等于6.12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个
7、整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由得,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论正确.由得,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示,易知,四边形的面积,很
8、明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程曲线几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题（每小题5分，共4小题，20分）13.抛物线的准线方程是_【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.14.已知椭圆焦点
9、在x轴上，且，则椭圆方程为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，求得，结合椭圆焦点在轴上，求得椭圆方程.【详解】依题意，又焦点在x轴上，故所求的椭圆方程为.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，属于基础题.15.设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为_；渐近线方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【详解】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，
10、B两点若，则C的离心率为_【答案】2.【解析】【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题三、解答题（共70分）17.求符合下列要求的曲线的标准方程：（1）已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为；（2）已知双曲线经过点，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程.（2
11、）设出双曲线的方程，代入点的坐标，由此求得双曲线的方程.【详解】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中）则，且离心率为，故所求的椭圆的标准方程为（2）设所求的双曲线方程为，由题意可得方程组，解之得故所求的双曲线标准方程为【点睛】本小题主要考查椭圆方程和双曲线方程的求法，属于基础题.18.已知向量，.（1）求（2）若，求m，n.（3）求【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）利用向量减法的坐标运算求得.（2）根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得.（3）利用，结合向量数量积和模的坐标运算，求得.【详解】（1），（2），若，则，解之得，（3），【点睛】本小题主要考查空间向量减法
12、、数量积和模的坐标运算，考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.19.直线l：，双曲线C：，（1）当时，直线l与双曲线C有两个交点A、B，求；（2）当k取何值时，直线l与双曲线C没有公共交点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将直线的方程代入双曲线方程，化简后写出根与系数关系，利用弦长公式求得.（2）将直线的方程代入双曲线方程，结合直线与双曲线没有公共交点列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，直线l：代入，可得化简整理得，所以，所以（2）由代入可得化简并整理可得若直线l与双曲线C没有公共交点，则有不等式组解之得或故当时直线l与双曲线C没有公共交点【点睛】本小题主要考查直
13、线和双曲线相交所得弦长的求法，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.20.如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值
14、，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以又，平面，因此平面；（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示空间直角坐标系，因为，所以，所以，设是平面的法向量，所以，设是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的绝对值为，所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.21.已知点A(0，2)，椭圆E： (ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P
15、，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，当且仅当，即，解得时取等号
16、，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当
17、点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.
