1、三十等比数列(习题课) (15分钟30分)1在数列an中，an，若an的前n项和Sn，则n()A3 B4 C5 D6【解析】选D.由an1得，Snnn，则Snn，将各选项中的值代入验证得n6.2数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数为()A11 B99 C120 D121【解析】选C.因为an，所以Sna1a2an(1)()()1，令110，得n120.3在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31的值为_【解析】因为S1514729，S22(4)1144，S31115461.所以S15S22S3129446176.答案：764(2021临沂高
2、二检测)设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5_【解析】在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534.答案：345求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn.【解析】Sn246(2462n)n(n1). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 BC D【解析】选B.因为an1Sn1Sn，所以由Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，整理得3Sn2Sn1，所以，所以数列Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列
3、，故Sn.2已知数列an的通项公式为an2nn，前n项和为Sn，则S6等于()A282 B70 C45 D147【解析】选D.因为an2nn，所以Sna1a2a3an(2122232n)(123n)2n12，所以S6272147.3(2021廊坊高二检测)已知函数yloga(x1)3(a0，a1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项，若bn，数列bn的前n项和为Tn，则T10()A B C D1【解析】选A.因为函数yloga(x1)3的图象过定点(2，3)，所以a22，a33，故ann，所以bn，所以T1011.4(2021宜昌高二检测)已知正项等比数列的前n项和为S
4、n，若a31，则()A必是递减数列 BS5C公比q Da14【解析】选B.设等比数列的公比为q，则q0，因为a1a5a1，a3a1q21，所以111a1a5a11，解得或当a14，q时，S5，数列是递减数列；当a1，q2时，S5，数列是递增数列；综上，S5.【误区警示】等比数列的单调性需要考虑首项和公比两个要素二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2021荆州高二检测)记单调递增的等比数列an的前n项和为Sn，若a2a410，a2a3a464，则()ASn1Sn2n1Ban2n1CSn2n1DSn2n11【解析】选BC.因为数列an为单调递增
5、的等比数列，且a2a4100，所以an0，因为a2a3a464，所以a64，解得a34，因为a2a410，所以4q10，即2q25q20，解得q2或，又数列an为单调递增的等比数列，取q2，a11，所以an2n1，Sn2n1，Sn1Sn2n112n.6计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C02，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态该计算机
6、现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是()A在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列【解析】选ABC.设第n1分钟之内新感染的文件数为an1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an12，且a12，由an12可得an2，两式相减得：an1an2an，所以an13an，所以每分钟内新感染的病毒构成以a12为首项，3为公比的等比数列，所以an23n1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3233118个文件，故选项A正确；经过5分钟，
7、该计算机共有1a1a2a3a4a5135243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1a1a2a101310105，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确三、填空题(每小题5分，共10分)7(2021海口高二检测)设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，则a17a18a19a20的值为_【解析】由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S
8、162532.答案：328已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2 020项的和等于_【解析】因为a1，又an1，所以a21，从而a3，a41，即得an故数列的前2 020项的和等于S2 0201 0101 515.答案：1 515四、解答题(每小题10分，共20分)9一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an1250.由
9、题意得(2d)223d8，解得d2.故ana1(n1)d2(n1)22n.(2)因为bnan2an2n22n，所以Snb1b2bn(222)(424)(2n22n)(242n)(222422n)n(n1).1(2021郑州高二检测)定义表示不超过x的最大整数，如0，1.若数列的通项公式为an，Sn为数列的前n项和，则S2 047()A2112 B32112C62112 D92112【解析】选D.因为n1，所以log2n0，当0log2n1时，n1，即a10(共1项)；当1log2n2时，n2，3，即a2a31(共2项)；当2log2n3时，n4，5，6，7，即a4a5a6a72(共4项)；当k
10、log2nk1时，n2k，2k1，2k11，即a2ka2k1a2k11k(共2k项)，由12222k2 047，得2 047.即2k12 048，所以k10.所以S2 047011222232310210，则2S2 04712222332410211，两式相减得S2 0472222324210102111021192112，所以S2 04792112.2等差数列an(nN*)中，a1，a2，a3分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在表中的同一列第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的a1，a2，a3组合，并求数列an的通项公式；(2
11、)记(1)中选择的an的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得a1，ak，Sk2成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由【解析】(1)由题意可知：有两种组合满足条件：a18，a212，a316，此时等差数列an，a18，d4，所以其通项公式为an84(n1)4n4.a12，a24，a36，此时等差数列an，a12，d2，所以其通项公式为an2n.(2)若选择，Sn2n26n.则Sk22(k2)26(k2)2k214k20.若a1，ak，Sk2成等比数列，则aa1Sk2，即(4k4)28(2k214k20)，整理，得5k9，此方程无正整数解，故不存在正整数k，使a1，ak，Sk2成等比数列若选择，Snn2n，则Sk2(k2)2(k2)k25k6，若a1，ak，Sk2成等比数列，则aa1Sk2，即(2k)22(k25k6)，整理得k25k60，因为k为正整数，所以k6.故存在正整数k6，使a1，ak，Sk2成等比数列
