1、2015-2016学年安徽省合肥市剑桥学校高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的每小题3分，共36分）1下列判断正确的是（）A不是棱柱B是圆台C是棱锥D是棱台2一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A8cm2B12cm2C16cm2D20cm23沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD4一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（）A2+B1+CD5半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR
2、36设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m7正方体的内切球与外接球的半径之比为（）ABCD8用一平面去截球所得截面的面积为2，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）AB2C4D 9设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，m，则m；其中正确命题的序号是（）ABCD10向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）ABCD11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A12+1
3、5B13+12C18+12D21+1512如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A30B50C75D150二、（本大题共4个小题，把答案填在题中横线上，共16分）13一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是14如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由块木块堆成15如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是16下列四个命题：两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点经过空间任意三点有且只有一个平面过两平行直线有且只有一个平面在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是三解答题：（大题共4小
4、题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共48分）17如图，在四边形ABCD中，DAB=90，ADC=135，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积18如图，四边形ABCD与AABB都是边长为a的正方形，点E是AA的中点，AA平面ABCD（1）求证：AC平面BDE；（2）求体积VAABCD与VEABD的比值19如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点（）证明：平面ADC1B1平面A1BE；（）证明：B1F平面A1BE；（）若正方体棱长为1，求四面体A1B1BE的体积20如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一
5、个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC，证明：BC面EFG2015-2016学年安徽省合肥市剑桥学校高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的每小题3分，共36分）1下列判断正确的是（）A不是棱柱B是圆台C是棱锥D是棱台【考点】构成空间几何体的基本元素【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果【解答】解：是底面为梯形的棱柱；的两个底面不平行，不是
6、圆台；是四棱锥；不是由棱锥截来的，故选：C2一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A8cm2B12cm2C16cm2D20cm2【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4R2=12故选B3沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一
7、条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案【解答】解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确故选：A4一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（）A2+B1+CD【考点】斜二测法画直观图【分析】根据直观图确定原四边形为直角梯形以及对应的上底和下底的长度，以及高的大小即可求原四边形的面积【解答】解：四边形的斜二侧直观图是一个底角为45，腰和上底的长均为1的等腰梯形，原四边形为直角梯
8、形，且CD=CD=1，AB=OB=，高AD=20D=2，直角梯形ABCD的面积为，故选：A5半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）AR3BR3CR3DR3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积【解答】解：2r=R，所以r=，则h=，所以V=故选A6设有直线m、n和平面、，下列四个命题中，正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，m，n，则C若，m，则mD若，m，m，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C【解答】解：A
9、不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D7正方体的内切球与外接球的半径之比为（）ABCD【考点】球内接多面体【分析】正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为： a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C8用一平面去截球所得截面的面
10、积为2，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（）AB2C4D 【考点】球的体积和表面积【分析】求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为1，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为2，所以小圆的半径为： cm；已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，所以球的体积为： =4故选：C9设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，m，则m；其中正确命题的序号是（）ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在中，由直线与平面垂直得mn；在中，由直线垂
11、直于平面的性质定理得m；在中，由直线与平面垂直的性质定理得mn；在中，m或m【解答】解：由m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面：在中：若m，n，则由直线与平面垂直得mn，故正确；在中：若，则，m，由直线垂直于平面的性质定理得m，故正确；在中：若m，n，则由直线与平面垂直的性质定理得mn，故正确；在中：若，m，则m或m，故错误故选：B10向高为H的水瓶中注水，注满为止如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）ABCD【考点】函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】本题利用排除法解从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性
12、及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V=r2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小故A、C错故选：B11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A12+15B13+12C18+12D21+15【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三
13、视图知几何体为半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，圆锥的母线长为5，几何体的表面积S=42+45+83=18+12故选：C12如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A30B50C75D150【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是四棱锥【解答】解：该几何体是四棱锥，其底面面积S=56=30，高h=5，则其体积V=Sh=305=50故选B二、（本大题共4个小题，把答案填在题中横线上，共16分）13一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是2：1【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、
14、圆台）【分析】设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，求出圆锥、圆柱的侧面积，即可求出比值【解答】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，所以圆锥的侧面积为： =rl圆柱的侧面积为：2rl所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1故答案为：2：114如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由4块木块堆成【考点】组合几何体的面积、体积问题【分析】求解本问题需要正确由三视图还原实物图，由图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排有三个，故可得答案【解答】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成
15、故答案为：415如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由展开图还原原图形，由原图形可得直线AB与CD的位置关系【解答】解：把展开图还原原正方体如图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面故答案为：异面16下列四个命题：两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点经过空间任意三点有且只有一个平面过两平行直线有且只有一个平面在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号是【考点】平面的基本性质及推论【分析】由公理3可判断，由公理2及其推论，可判断，根据空间线线关系，可判断【解答】解：两个相交平面的公交点一定在平面的交线上
16、，故错误；经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；过两平行直线有且只有一个平面，正确；在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，故正确命题的序号是，故答案为：三解答题：（大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共48分）17如图，在四边形ABCD中，DAB=90，ADC=135，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积【解答】解：四边形A
17、BCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=r22+（r1+r2）l2+r1l1=18如图，四边形ABCD与AABB都是边长为a的正方形，点E是AA的中点，AA平面ABCD（1）求证：AC平面BDE；（2）求体积VAABCD与VEABD的比值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）设BD交AC于M，连接ME利用正方形的性质可得：M为AC中点，利用三角形的中位线定理可得：MEAC利用线面平行的判定定理即可证明（2）VEABD=VAABCD，即可得出【解答】（1）证明：设BD交AC于M，连接MEABCD为正方形，M为AC中点，又
18、E为AA的中点，ME为AAC的中位线，MEAC又ME平面BDE，AC平面BDE，AC平面BDE（2）解：VEABD=VAABCDVAABCD：VEABD=4：119如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点（）证明：平面ADC1B1平面A1BE；（）证明：B1F平面A1BE；（）若正方体棱长为1，求四面体A1B1BE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（）由正方体可得：B1C1平面ABB1A1，B1C1A1B又A1BAB1，可得A1B平面ADC1B1，即可证明（）证明：连接EF，利用三角形中位线定理可得
19、四边形B1OEF为平行四边形可得B1FOE即可证明B1F平面A1BE，（）利用=即可得出【解答】（）证明：ABCDA1B1C1D1为正方体，B1C1平面ABB1A1；A1B平面ABB1A1，B1C1A1B又A1BAB1，B1C1AB1=B1，A1B平面ADC1B1，A1B平面A1BE，平面ADC1B1平面A1BE；（）证明：连接EF，EF，且EF=，设AB1A1B=O，则B1OC1D，且，EFB1O，且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形B1FOE又B1F平面A1BE，OE平面A1BE，B1F平面A1BE，（）解： =20如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它
20、的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC，证明：BC面EFG【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）依据画图的规则作出其俯视图即可；（2）此几何体是一个长方体削去了一个角，由图中的数据易得几何体的体积；（3）在长方体ABCDABCD中，连接AD，在所给直观图中连接BC，证明EGBC，即可证明BC面EFG【解答】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=644=96cm3，V2=222=cm3，V=v1v2=cm3（3）证明：如图，在长方体ABCDABCD中，连接AD，则ADBC因为E，G分别为AA，AD中点，所以ADEG，从而EGBC，又EG平面EFG，所以BC平面EFG；2016年4月26日
